Меню Главная Случайная статья Настройки Конечные разности Материал из https://ru.wikipedia.org Конечная разность — математический термин, широко применяющийся в методах вычисления при интерполировании и численном дифференцировании. Содержание 1 Определение 1.1 Разности высших порядков 1.2 Через операторы 2 Общие формулы 3 Пример 4 Связь с производными 5 Связанные понятия 6 Примечания 7 Литература 8 См. также Определение Пусть для некоторой точки ${\displaystyle x_{0}}$ задано ${\displaystyle n+1}$ узлов интерполяции ${\displaystyle x_{k}=x_{0}+hk,\;k=0,\ldots ,n}$ с шагом ${\displaystyle h=\mathrm {const} }$ и известны значения функции ${\displaystyle f}$ в этих узлах: ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0},\ldots ,f(x_{n})=y_{n}.}$ Тогда восходящей конечной разностью (или разностью вперёд) 1-го порядка называют разность между ${\displaystyle (k+1)}$-м и ${\displaystyle k}$-м значениями ${\displaystyle f}$ в узлах интерполяции, то есть[1] ${\displaystyle \Delta y_{k}=y_{k+1}-y_{k}=f(x_{k+1})-f(x_{k}),\ k=0,\ldots ,n-1.}$ Нисходящей конечной разностью (или разностью назад) 1-го порядка называют разность между ${\displaystyle k}$-м и ${\displaystyle (k-1)}$-м значениями ${\displaystyle f}$ в узлах интерполяции, то есть[1] ${\displaystyle \nabla y_{k}=y_{k}-y_{k-1}=f(x_{k})-f(x_{k-1}),\ k=1,\ldots ,n.}$ Центральной (или симметричной) конечной разностью 1-го порядка называют разность между ${\displaystyle (k+1)}$-м и ${\displaystyle (k-1)}$-м значениями ${\displaystyle f}$ в узлах интерполяции, то есть[1] ${\displaystyle \delta \,y_{k}=y_{k+1}-y_{k-1}=f(x_{k+1})-f(x_{k-1}),\ k=1,\ldots ,n-1.}$ Разности высших порядков Восходящей конечной разностью 2-го порядка называют разность между ${\displaystyle (k+1)}$-ой и ${\displaystyle k}$-ой конечными разностями 1-го порядка, то есть ${\displaystyle \Delta ^{2}y_{k}=\Delta (\Delta y_{k})=\Delta y_{k+1}-\Delta y_{k}=f(x_{k+2})-2f(x_{k+1})+f(x_{k}),\ k=0,\ldots ,n-2.}$ Соответственно, восходящей конечной разностью порядка ${\displaystyle m}$ (для ${\displaystyle m\leq n}$) называют разность между ${\displaystyle (k+1)}$-ой и ${\displaystyle k}$-ой конечными разностями порядка ${\displaystyle m-1}$, то есть[1] ${\displaystyle \Delta ^{m}y_{k}=\Delta (\Delta ^{m-1}y_{k})=\Delta ^{m-1}y_{k+1}-\Delta ^{m-1}y_{k},\ k=0,\ldots ,n-m.}$ Аналогично определяются нисходящие и центральные разности высших порядков[1]: ${\displaystyle \nabla ^{m}y_{k}=\nabla (\nabla ^{m-1}y_{k}),}$ ${\displaystyle \delta ^{m}y_{k}=\delta (\delta ^{m-1}y_{k}).}$ Через операторы Если ввести оператор смещения ${\displaystyle \operatorname {E} }$ такой, что ${\displaystyle \operatorname {E} y_{k}=y_{k+1}}$, то можно определить оператор восходящей конечной разности ${\displaystyle \Delta }$ как ${\displaystyle \operatorname {E} -1}$. Для него справедливо соотношение ${\displaystyle \Delta ^{k}=(\operatorname {E} -1)^{k}}$, которое можно раскладывать по биному Ньютона. Данный способ представления ${\displaystyle \Delta }$ заметно упрощает работу с конечными разностями высших порядков[2]. Общие формулы Часто также используется другое обозначение: ${\displaystyle \Delta _{h}^{m}(f,x)}$ — восходящая конечная разность порядка ${\displaystyle m}$ от функции ${\displaystyle f}$ c шагом ${\displaystyle h}$, взятая в точке ${\displaystyle x}$. Например, ${\displaystyle \Delta _{h}^{1}(f,x)=f(x+h)-f(x)}$. Аналогично, для нисходящих разностей можно использовать обозначение ${\displaystyle \nabla _{h}^{m}(f,x)}$, а для центральных — ${\displaystyle \delta _{h}^{m}(f,x)}$. В этих обозначениях можно записать общие формулы для всех видов конечных разностей произвольного порядка с использованием биномиальных коэффициентов[3]: ${\displaystyle \Delta _{h}^{m}(f,x)=\sum _{i=0}^{m}(-1)^{m-i}C_{m}^{i}f{\bigl (}x+ih{\bigr )},}$ ${\displaystyle \nabla _{h}^{m}(f,x)=\sum _{i=0}^{m}(-1)^{i}C_{m}^{i}f(x-ih),}$ ${\displaystyle \delta _{h}^{m}(f,x)=\sum _{i=0}^{m}(-1)^{i}C_{m}^{i}f\left(x+\left({\frac {m}{2}}-i\right)h\right).}$ Общая формула для ${\displaystyle \Delta _{h}^{m}(f,x)}$ используется при построении интерполяционного многочлена Ньютона. Пример На приведённом изображении рассмотрен пример вычисления конечных разностей для ${\displaystyle {\begin{array}{rcl}f(x)&=&2x^{3}-2x^{2}+3x-1,\\x_{0}&=&0,\\n&=&3,\\h&=&1.\end{array}}}$ В зелёных клетках расположены значения ${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{n}}$, в каждой последующей строке приводятся конечные разности соответствующего порядка. Связь с производными Производная функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x}$ определяется с помощью предела: ${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$ Под знаком предела стоит восходящая конечная разность ${\displaystyle \Delta _{h}^{1}(f,x)}$, делённая на шаг. Следовательно, эта дробь аппроксимирует производную при малых значениях шага. Погрешность приближения может быть получена с использованием формулы Тейлора[4]: ${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}^{1}(f,x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0,\;h\to 0.}$ Аналогичное соотношение выполняется для нисходящей разности: ${\displaystyle {\frac {\nabla _{h}^{1}(f,x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0,\;h\to 0.}$ Центральная разность даёт более точное приближение: ${\displaystyle {\frac {\delta _{h}^{1}(f,x)}{2h}}-f'(x)=O\left(h^{2}\right),\;h\to 0.}$ Конечные разности порядка ${\displaystyle m}$, делённые на шаг, возведённый в степень ${\displaystyle m}$, аппроксимируют производную порядка ${\displaystyle m}$. Порядок погрешности приближения при этом не меняется[5]: ${\displaystyle {\frac {d^{m}f}{dx^{m}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{m}(f,x)}{h^{m}}}+O(h)={\frac {\nabla _{h}^{m}(f,x)}{h^{m}}}+O(h)={\frac {\delta _{h}^{m}(f,x)}{h^{m}}}+O\left(h^{2}\right).}$ Связанные понятия Видно, что конечная разность при фиксированном шаге есть линейный оператор, отображающий пространство непрерывных функций в себя. Обобщением понятия конечной разности является понятие разностного оператора. С конечными разностями также связаны понятия разделённых разностей и модуля непрерывности. Примечания 1 2 3 4 5 Бахвалов и др., 2011, с. 65. Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — С. 669—670. Бахвалов и др., 2011, с. 66. Бахвалов и др., 2011, с. 81. Бахвалов и др., 2011, с. 82. Литература См. также Коэффициенты формул численного дифференцирования Линейная рекуррентная последовательность — решение наиболее простого типа разностного уравнения Метод конечных разностей Интерполяционные формулы Ньютона Разделенная разность Биномиальные преобразования