Меню Главная Случайная статья Настройки Логика высказываний Материал из https://ru.wikipedia.org Логика высказываний, пропозициональная логика (лат. propositio — «высказывание»[1]) или исчисление высказываний[2], также логика нулевого порядка — это раздел символической логики, изучающий сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения. В отличие от логики предикатов, пропозициональная логика не рассматривает внутреннюю структуру простых высказываний, она лишь учитывает, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные[3]. Несмотря на свою важность и широкую сферу применения, логика высказываний является простейшей логикой и имеет очень ограниченные средства для исследования суждений[2]. Содержание 1 Язык логики высказываний 1.1 Синтаксис логики высказываний 1.1.1 Пропозициональные формулы 1.1.2 Соглашения о скобках 1.2 Формализация и интерпретация 2 Аксиомы и правила вывода формальной системы логики высказываний 3 Таблицы истинности основных операций 4 Тождественно истинные формулы (тавтологии) 5 См. также 6 Примечания 7 Литература Язык логики высказываний Язык логики высказываний (пропозициональный язык[4]) — формализованный язык, предназначенный для анализа логической структуры сложных высказываний[1]. Синтаксис логики высказываний Исходные символы, или алфавит языка логики высказываний[5]: множество пропозициональных переменных (пропозициональных букв): ${\displaystyle {\text{Var}}=\{p,q,r...\}}$ пропозициональные связки (логические союзы): Символ Значение ${\displaystyle \neg }$  Знак отрицания ${\displaystyle \land }$ или & Знак конъюнкции («логическое И») ${\displaystyle \vee }$ Знак дизъюнкции («логическое ИЛИ») ${\displaystyle \rightarrow }$  Знак импликации Вспомогательные символы: левая скобка (, правая скобка ).[6] Пропозициональная формула — слово языка логики высказываний[7], то есть конечная последовательность знаков алфавита, построенная по изложенным ниже правилам и образующая законченное выражение языка логики высказываний[1]. Индуктивное определение множества формул ${\displaystyle Fm}$ логики высказываний:[4][1] Если ${\displaystyle p\in {\text{Var}}}$, то ${\displaystyle p\in {\text{Fm}}}$ (всякая пропозициональная переменная есть формула); если ${\displaystyle A}$ — формула, то ${\displaystyle \neg A}$ — тоже формула; если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — произвольные формулы, то ${\displaystyle (A\wedge B)}$, ${\displaystyle (A\vee B)}$, ${\displaystyle (A\to B)}$ — тоже формулы. Других формул в языке логики высказываний нет. Форма Бэкуса — Наура, определяющая синтаксис логики высказываний, имеет запись: ${\displaystyle A::=p\;|\;(\neg A)\;|\;(A\land B)\;|\;(A\lor B)\;|\;(A\to B)}$ Заглавные латинские буквы ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и другие, которые употребляются в определении формулы, принадлежат не языку логики высказываний, а его метаязыку, то есть языку, который используется для описания самого языка логики высказываний. Содержащие метабуквы выражения ${\displaystyle \neg A}$, ${\displaystyle (A\to B)}$ и другие — не пропозициональные формулы, а схемы формул. Например, выражение ${\displaystyle (A\wedge B)}$ есть схема, под которую подходят формулы ${\displaystyle (p\wedge q)}$, ${\displaystyle (p\wedge (r\vee s))}$ и другие[1]. Относительно любой последовательности знаков алфавита языка логики высказываний можно решить, является она формулой или нет. Если эта последовательность может быть построена в соответствии с пп. 1—3 определения формулы, то она формула, если нет, то не формула[1]. Поскольку в построенных по определению формулах оказывается слишком много скобок, иногда и не обязательных для однозначного понимания формулы, существует соглашение о скобках, по которому некоторые из скобок можно опускать. Записи с опущенными скобками восстанавливаются по следующим правилам. Если опущены внешние скобки, то они восстанавливаются. Если рядом стоят две конъюнкции или дизъюнкции (например, ${\displaystyle A\wedge B\wedge C}$), то в скобки заключается сначала самая левая часть (то есть эти связки левоассоциативны). Если рядом стоят разные связки, то скобки расставляются согласно приоритетам: ${\displaystyle \neg ,\wedge ,\vee }$ и ${\displaystyle \to }$ (от высшего к низшему). Когда говорят о длине формулы, имеют в виду длину подразумеваемой (восстанавливаемой) формулы, а не сокращённой записи. Например: запись ${\displaystyle A\vee B\wedge \neg C}$ означает формулу ${\displaystyle (A\vee (B\wedge (\neg C)))}$, а её длина равна 12. Формализация и интерпретация Как и любой другой формализованный язык, язык логики высказываний можно рассматривать как множество всех слов, построенных с использованием алфавита этого языка[8]. Язык логики высказываний можно рассматривать как множество всевозможных пропозициональных формул[4]. Предложения естественного языка могут быть переведены на символический язык логики высказываний, где они будут представлять собой формулы логики высказываний. Процесс перевода высказывания в формулу языка логики высказываний называется формализацией. Обратный процесс подстановки вместо пропозициональных переменных конкретных высказываний называется интерпретацией[9]. Аксиомы и правила вывода формальной системы логики высказываний