Меню Главная Случайная статья Настройки Канторова лестница Материал из https://ru.wikipedia.org Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции ${\displaystyle [0,1]\to [0,1]}$, которая не является константой, но при этом имеет производную, равную нулю в почти всех точках (сингулярной функции). Иногда называется «Чёртовой лестницей» или «дьявольской лестницей».[1] Содержание 1 Построения 1.1 Стандартное 1.2 По двоичной и троичной записи 2 Свойства 3 См. также 4 Ссылки Построения Стандартное В точках 0 и 1 значение функции принимается равным соответственно 0 и 1. Далее интервал (0, 1) разбивается на три равные части ${\displaystyle \left(0,{\frac {1}{3}}\right)}$, ${\displaystyle \left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)}$ и ${\displaystyle \left({\frac {2}{3}},1\right)}$. На среднем сегменте полагаем ${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}}$. Оставшиеся два сегмента снова разбиваются на три равные части каждый, и на средних сегментах ${\displaystyle F(x)}$ полагается равной ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ и ${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$. Каждый из оставшихся сегментов снова делится на три части, и на внутренних сегментах ${\displaystyle F(x)}$ определяется как постоянная, равная среднему арифметическому между соседними, уже определенными значениями ${\displaystyle F(x)}$. На остальных точках единичного отрезка определяется по непрерывности. Полученная функция называется канторовой лестницей. По двоичной и троичной записи Любое число ${\displaystyle x\in [0,1]}$ можно представить в троичной системе счисления ${\displaystyle x=(0{,}a_{1}a_{2}\dots )_{3}}$, ${\displaystyle a_{i}\in \{0,1,2\}}$. Если в записи ${\displaystyle 0{,}a_{1}a_{2}\dots }$ встречается 1, выбросим из неё все последующие цифры и в оставшейся последовательности заменим каждую двойку на 1. Получившаяся последовательность ${\displaystyle 0{,}b_{1}b_{2}\dots }$ даёт запись значения канторовой лестницы в точке ${\displaystyle x}$ в двоичной системе счисления. Свойства Производная канторовой лестницы определена и равна нулю во всех точках, кроме канторова множества. Канторова лестница непрерывна, ограниченной вариации, но не абсолютно непрерывна. Канторова лестница не обладает свойством Лузина. См. также Функция Минковского Фрактал Ссылки Weisstein, Eric W. Devil's Staircase (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.