Меню Главная Случайная статья Настройки Список квадратурных формул Материал из https://ru.wikipedia.org В данной статье приведен список различных квадратурных формул для численного интегрирования. Содержание 1 Обозначения 2 Одномерный интеграл 3 Двухмерный интеграл 3.1 Квадратный мастер-элемент 3.2 Треугольный мастер-элемент 4 Трёхмерный интеграл 4.1 Кубический мастер-элемент 4.2 Тетраэдральный мастер-элемент 5 Примечания 6 Литература 7 Ссылки Обозначения В общем виде формула численного интегрирования записывается следующим образом: ${\displaystyle \,\,\int \limits _{\Omega _{x}}f(x)dx=\sum _{i=1}^{m_{g}}{{\widetilde {w_{i}}}f(x_{i})}=\sum _{i=1}^{m_{g}}{w_{i}\mathrm {|det} (J(\xi _{i}))|f(x(\xi _{i}))}}$, ${\displaystyle f(x)}$ — интегрируемая функция; ${\displaystyle w_{i}}$ — веса интегрирования; ${\displaystyle \xi }$ — система координат мастер-элемента; ${\displaystyle J(\xi )={\frac {\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial (\xi _{1},\dots \xi _{n})}}}$ — матрица Якоби для перехода на мастер-элемент. В силу аддитивности интеграла в качестве области интегрирования ${\displaystyle \Omega }$ будут рассматриваться простые области (треугольник, четырёхугольник, тетраэдр и так далее), при сложной геометрии область можно представить как объединение простых и посчитать интеграл по ним или представить с помощью сплайна отображение на мастер-элемент. В статье для обозначения естественных координат будут использоваться переменные ${\displaystyle x,y,z}$, для обозначения координат мастер-элемента — ${\displaystyle \xi ,\eta ,\zeta }$. Одномерный интеграл Одномерное интегрирование — это всегда интегрирование по отрезку. Область интегрирования: отрезок ${\displaystyle [x_{0},x_{1}]}$; Мастер-элемент: отрезок ${\displaystyle [-1,1]}$; Переход на мастер-элемент: ${\displaystyle \xi (x)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1}$; Переход с мастер-элемента: ${\displaystyle x(\xi )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2}}+x_{0}}$; Якобиан: ${\displaystyle \mathrm {det} (J(\xi ))={\frac {x_{1}-x_{0}}{2}}}$. Номер Число точек Порядок интегрирования ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle w}$ Дополнительно 1 1 1 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2}$ Метод прямоугольников 2 2 1 ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 1}$ Метод трапеций ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ 3 2 3 ${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ Метод Гаусса-2 ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ 4 3 3 ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ Метод Симпсона ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\frac {4}{3}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ 5 3 5 ${\displaystyle -{\sqrt {\frac {3}{5}}}}$ ${\displaystyle {\frac {5}{9}}}$ Метод Гаусса-3 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\frac {8}{9}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{5}}}}$ ${\displaystyle {\frac {5}{9}}}$ 6 4 7 ${\displaystyle -{\sqrt {{\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}}$ ${\displaystyle {\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}}$ Метод Гаусса-4 ${\displaystyle {\sqrt {{\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}}$ ${\displaystyle {\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}}$ ${\displaystyle {\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}}$ ${\displaystyle {\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}}$ 7 5 9 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\frac {128}{225}}}$ Метод Гаусса-5 ${\displaystyle -{\frac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}}$ ${\displaystyle {\frac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}}$ ${\displaystyle {\frac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}}$ ${\displaystyle {\frac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}}$ ${\displaystyle {\frac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}}$ Двухмерный интеграл Квадратный мастер-элемент Область интегрирования: прямоугольник ${\displaystyle [x_{0},x_{1}]\times [y_{0},y_{1}]}$ Мастер-элемент: квадрат ${\displaystyle [-1,1]\times [-1,1]}$ Переход на мастер-элемент: ${\displaystyle \xi (x,y)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1}$ ${\displaystyle \eta (x,y)=2{\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}-1}$; Переход с мастер-элемента: ${\displaystyle x(\xi ,\eta )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2}}+x_{0}}$ ${\displaystyle y(\xi ,\eta )={\frac {(y_{1}-y_{0})(\eta +1)}{2}}+y_{0}}$; Якобиан: ${\displaystyle \mathrm {det} (J(\xi ,\eta ))={\frac {(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})}{4}}}$. Данные формулы интегрирования можно использовать и когда область интегрирования — выпуклый четырёхугольник, но тогда формулы перехода на мастер-элемент (и обратно) не будут иметь такой простой вид. Получить выражение для перехода можно используя интерполяционный полином. Многие из формул интегрирования по квадрату можно получить, как комбинацию формул по отрезку: в качестве точек интегрирования берутся все возможные пары одномерных точек, а в качестве весов — соответствующие произведения весов интегрирования. Примерами таких методов в таблице ниже являются метод прямоугольников, метод трапеций и метод Гаусса-2. Номер Число точек Порядок интегрирования ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle w}$ Дополнительно 1 1 1 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 4}$ Метод прямоугольников (метод среднего) 2 4 1 ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 1}$ Метод трапеций ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ 3 4 3 ${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ Метод Гаусса-2 ${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ 4 12 7 ${\displaystyle -c}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle w_{c}}$ ${\displaystyle a={\sqrt {\frac {114-3{\sqrt {583}}}{287}}}}$ ${\displaystyle b={\sqrt {\frac {114+3{\sqrt {583}}}{287}}}}$ ${\displaystyle c={\sqrt {\frac {6}{7}}}}$ ${\displaystyle w_{a}={\frac {307}{810}}+{\frac {923}{270{\sqrt {583}}}}}$ ${\displaystyle w_{b}={\frac {307}{810}}-{\frac {923}{270{\sqrt {583}}}}}$ ${\displaystyle w_{c}={\frac {98}{405}}}$ Число узлов минимально[1]. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle w_{c}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -c}$ ${\displaystyle w_{c}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle w_{c}}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle w_{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle w_{a}}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle w_{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle w_{a}}$ ${\displaystyle -b}$ ${\displaystyle -b}$ ${\displaystyle w_{b}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle -b}$ ${\displaystyle w_{b}}$ ${\displaystyle -b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle w_{b}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle w_{b}}$ Треугольный мастер-элемент Область интегрирования: треугольник, образованный вершинами ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}$; Мастер-элемент: треугольник, образованный вершинами ${\displaystyle (0,0),(1,0),(0,1)}$. Для перехода на мастер-элемент используются барицентрические координаты (L-координаты), обозначим их ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$. ${\displaystyle \lambda _{i}(x,y)=\alpha _{i1}x+\alpha _{i2}y+\alpha _{i3}}$ Для вычисления коэффициентов L-координат используется матрица ${\displaystyle D}$: ${\displaystyle D={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{pmatrix}}}$ Матрица коэффициентов обратна к ${\displaystyle D}$: ${\displaystyle \mathrm {A} =D^{-1}}$. Переход на мастер элемент: ${\displaystyle \xi (x,y)=\lambda _{1}(x,y)}$ ${\displaystyle \eta (x,y)=\lambda _{2}(x,y)}$ Переход с мастер элемента: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=D{\begin{pmatrix}\xi \\\eta \\1-\xi -\eta \end{pmatrix}}}$ Якобиан : ${\displaystyle \mathrm {det} (J(\xi ,\eta ))=\mathrm {det} (D)}$. Номер Число точек Порядок интегрирования ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle w}$ Дополнительно 1 1 1 ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ Метод среднего 2 3 2 ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ - ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ 2 3 2 ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ Метод Гаусса-3 ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ 4 4 3 ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle -{\frac {9}{32}}}$ Метод Гаусса-4 ${\displaystyle {\frac {3}{5}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{5}}}$ ${\displaystyle {\frac {25}{96}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{5}}}$ ${\displaystyle {\frac {3}{5}}}$ ${\displaystyle {\frac {25}{96}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{5}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{5}}}$ ${\displaystyle {\frac {25}{96}}}$ 5 7 3 ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\frac {9}{40}}}$ Метод Ньютона-Котеса (англ. Newton-Cotes (англ.)) ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\frac {1}{15}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{15}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{15}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\frac {1}{40}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{40}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\frac {1}{40}}}$ Трёхмерный интеграл Кубический мастер-элемент Область интегрирования: параллелепипед ${\displaystyle [x_{0},x_{1}]\times [y_{0},y_{1}]\times [z_{0},z_{1}]}$ Мастер-элемент: куб ${\displaystyle [-1,1]\times [-1,1]\times [-1,1]}$ Переход на мастер-элемент: ${\displaystyle \xi (x,y,z)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1}$ ${\displaystyle \eta (x,y,z)=2{\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}-1}$ ${\displaystyle \zeta (x,y,z)=2{\frac {z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}}-1}$ Переход с мастер-элемента: ${\displaystyle x(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2}}+x_{0}}$ ${\displaystyle y(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(y_{1}-y_{0})(\eta +1)}{2}}+y_{0}}$; ${\displaystyle z(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(z_{1}-z_{0})(\zeta +1)}{2}}+z_{0}}$; Якобиан: ${\displaystyle \mathrm {det} (J(\xi ,\eta ,\zeta ))={\frac {(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})(z_{1}-z_{0})}{8}}}$. Аналогично как и для квадрата, куб можно использовать как мастер-элемент для произвольного шестигранника[уточнить], но тогда формулы перехода и якобиана усложнится. Так же, аналогично с квадратом, многие формулы интегрирования по кубу можно получить из формул интегрирования по отрезку, координаты узлов — это все возможные тройки координат одномерной формулы, а веса интегрирования — произведение соответствующих весов одномерной формулы. Номер Число точек Порядок интегрирования ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle w}$ Дополнительно 1 1 1 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 8}$ Метод прямоугольников (метод среднего) 2 8 3 ${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ Метод Гаусса-2 ${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ 3 14 5 ${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{30}}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\frac {320}{361}}}$ Число узлов в классе формул с порядком аппроксимации 5 и не содержащих начало координат минимально.[2] ${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{30}}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\frac {320}{361}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{30}}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\frac {320}{361}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{30}}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\frac {320}{361}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{30}}}}$ ${\displaystyle {\frac {320}{361}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{30}}}}$ ${\displaystyle {\frac {320}{361}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}$ ${\displaystyle {\frac {121}{361}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}$ ${\displaystyle {\frac {121}{361}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}$ ${\displaystyle {\frac {121}{361}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}$ ${\displaystyle {\frac {121}{361}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}$ ${\displaystyle {\frac {121}{361}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}$ ${\displaystyle {\frac {121}{361}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}$ ${\displaystyle {\frac {121}{361}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}$ ${\displaystyle {\frac {121}{361}}}$ Поскольку формулы интегрирования высоких порядков содержат много точек, то их приведём отдельно. Порядок: 7, число точек: 34 Номер точки ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle w}$ Дополнительно 1 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle w_{1}}$ ${\displaystyle a={\sqrt {\frac {6}{7}}}}$, ${\displaystyle b={\sqrt {\frac {960-33{\sqrt {238}}}{2726}}}}$, ${\displaystyle c={\sqrt {\frac {960+33{\sqrt {238}}}{2726}}}}$, ${\displaystyle w_{1}={\frac {1078}{3645}}}$, ${\displaystyle w_{2}={\frac {343}{3645}}}$, ${\displaystyle w_{3}={\frac {43}{135}}+{\frac {829{\sqrt {238}}}{136323}}}$, ${\displaystyle w_{4}={\frac {43}{135}}-{\frac {829{\sqrt {238}}}{136323}}}$ 2 ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle w_{1}}$ 3 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle w_{1}}$ 4 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle w_{1}}$ 5 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle w_{1}}$ 6 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle w_{1}}$ 7 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle w_{2}}$ 8 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle w_{2}}$ 9 ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle w_{2}}$ 10 ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle w_{2}}$ 11 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle w_{2}}$ 12 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle w_{2}}$ 13 ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle w_{2}}$ 14 ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle w_{2}}$ 15 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle w_{2}}$ 16 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle w_{2}}$ 17 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle w_{2}}$ 18 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle w_{2}}$ 19 ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle w_{3}}$ 20 ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle -b}$ ${\displaystyle w_{3}}$ 21 ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle -b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle w_{3}}$ 22 ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle -b}$ ${\displaystyle -b}$ ${\displaystyle w_{3}}$ 23 ${\displaystyle -b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle w_{3}}$ 24 ${\displaystyle -b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle -b}$ ${\displaystyle w_{3}}$ 25 ${\displaystyle -b}$ ${\displaystyle -b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle w_{3}}$ 26 ${\displaystyle -b}$ ${\displaystyle -b}$ ${\displaystyle -b}$ ${\displaystyle w_{3}}$ 27 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle w_{4}}$ 28 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle -c}$ ${\displaystyle w_{4}}$ 29 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle -c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle w_{4}}$ 30 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle -c}$ ${\displaystyle -c}$ ${\displaystyle w_{4}}$ 31 ${\displaystyle -c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle w_{4}}$ 32 ${\displaystyle -c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle -c}$ ${\displaystyle w_{4}}$ 33 ${\displaystyle -c}$ ${\displaystyle -c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle w_{4}}$ 34 ${\displaystyle -c}$ ${\displaystyle -c}$ ${\displaystyle -c}$ ${\displaystyle w_{4}}$ Тетраэдральный мастер-элемент Область интегрирования: тетраэдр, образованный вершинами ${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2}),(x_{3},y_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4},z_{4})}$. Мастер-элемент: тетраэдр, образованный вершинами ${\displaystyle (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$. Аналогично с треугольником для перехода на мастер-элемент используются L-координаты тетраэдра, обозначим их ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\lambda _{4}}$: ${\displaystyle \lambda _{i}(x,y,z)=\alpha _{i1}x+\alpha _{i2}y+\alpha _{i3}z+\alpha _{i4}}$ Матрица коэффициентов определяется, как: ${\displaystyle \mathrm {A} =D^{-1}}$, где ${\displaystyle D={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}&y_{4}\\z_{1}&z_{2}&z_{3}&z_{4}\\1&1&1&1\end{pmatrix}}}$ Переход на мастер-элемент: ${\displaystyle \xi (x,y,z)=\lambda _{1}(x,y,z)}$ ${\displaystyle \eta (x,y,z)=\lambda _{2}(x,y,z)}$ ${\displaystyle \zeta (x,y,z)=\lambda _{3}(x,y,z)}$ Переход с мастер-элемента: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}}=D{\begin{pmatrix}\xi \\\eta \\\zeta \\1-\xi -\eta -\zeta \end{pmatrix}}}$ Якобиан : ${\displaystyle \mathrm {det} (J(\xi ,\eta ,\zeta ))=\mathrm {det} (D)}$. Номер Число точек Порядок интегрирования ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle w}$ Дополнительно 1 1 1 ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ Метод среднего 2 4 2 ${\displaystyle {\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}}$ ${\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}$ ${\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{24}}}$ Метод Гаусса-4 ${\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}$ ${\displaystyle {\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}}$ ${\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{24}}}$ ${\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}$ ${\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}$ ${\displaystyle {\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{24}}}$ ${\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}$ ${\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}$ ${\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{24}}}$ 3 5 3 ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ ${\displaystyle -{\frac {2}{15}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ ${\displaystyle {\frac {3}{40}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ ${\displaystyle {\frac {3}{40}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {3}{40}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ ${\displaystyle {\frac {3}{40}}}$ 4 11 4 ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ ${\displaystyle -{\frac {74}{5625}}}$ Метод Гаусса-11 ${\displaystyle {\frac {11}{14}}}$ ${\displaystyle {\frac {5}{70}}}$ ${\displaystyle {\frac {5}{70}}}$ ${\displaystyle {\frac {343}{45000}}}$ ${\displaystyle {\frac {5}{70}}}$ ${\displaystyle {\frac {11}{14}}}$ ${\displaystyle {\frac {5}{70}}}$ ${\displaystyle {\frac {343}{45000}}}$ ${\displaystyle {\frac {5}{70}}}$ ${\displaystyle {\frac {5}{70}}}$ ${\displaystyle {\frac {11}{14}}}$ ${\displaystyle {\frac {343}{45000}}}$ ${\displaystyle {\frac {5}{70}}}$ ${\displaystyle {\frac {5}{70}}}$ ${\displaystyle {\frac {5}{70}}}$ ${\displaystyle {\frac {343}{45000}}}$ ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {56}{2250}}}$ ${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {56}{2250}}}$ ${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {56}{2250}}}$ ${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {56}{2250}}}$ ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {56}{2250}}}$ ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {56}{2250}}}$ 5 14 5 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A,\ B,\ C,\ a,\ b,\ c}$ определяются из следующих уравнений: ${\displaystyle {\begin{cases}t={\frac {4}{27}}\left(71-4{\sqrt {79}}\sin \left({\frac {1}{3}}\left[{\frac {\pi }{2}}+\arctan \left({\frac {27{\sqrt {10815}}}{67}}\right)\right]\right)\right)\\a={\frac {1+\alpha }{4}},\ b={\frac {1+\beta }{4}},\ c={\frac {1+2\gamma }{4}}\\\gamma ={\sqrt {1/t}},\ C=t^{2}/7!,\ \alpha >0\\A\alpha ^{2}+B\beta ^{2}=(1-t/21)/5!\\A\alpha ^{3}+B\beta ^{3}=-2/6!\\A\alpha ^{4}+B\beta ^{4}=10/7!\\A\alpha ^{5}+B\beta ^{5}=-6/7!\\\end{cases}}}$ ${\displaystyle A\approx 0.01878132095300264180}$ ${\displaystyle B\approx 0.01224884051939365826}$ ${\displaystyle C\approx 0.00709100346284691107}$ ${\displaystyle a\approx 0.31088591926330060980}$ ${\displaystyle b\approx 0.09273525031089122640}$ ${\displaystyle c\approx 0.45449629587435035051}$ ${\displaystyle 1-3a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1-3a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1-3a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle 1-3b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 1-3b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 1-3b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}-c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}-c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}-c}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}-c}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}-c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}-c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}-c}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}-c}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}-c}$ ${\displaystyle C}$ Примечания Мысовских, 1981, с. 285. Мысовских, 1981, с. 280. Литература Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы. — Москва: Наука, 1981. — С. 336. Ссылки Numerical Integration over the Triangular Domain (англ.). — Интегрирование по треугольному элементу. Дата обращения: 12 июня 2014. Архивировано из оригинала 14 июля 2014 года. Numerical Integration over the Tetrahedral Domain (англ.). — Интегрирование по тетраэдальному элементу. Дата обращения: 12 июня 2014. Архивировано из оригинала 14 июля 2014 года.