Климент — воспитанник клуба «Высочина». 9 марта 2012 года в матче против «Часлава» он дебютировал за команду[2]. В том же году Ян вместе с команду вышел в элиту по итогам сезона. 22 февраля 2013 года в поединке против «Градец-Кралове» он дебютировал за клуб в Гамбринус лиге[3]. 19 апреля в матче против «Теплице» Климент забил свой первый гол за «Высочину»[4].
В начале 2014 года для получения игровой практики Ян на правах аренды перешёл в словацкую «Дуклу». 1 марта в матче против братиславского «Слована» он дебютировал в словацкой Суперлиге[5]. После окончания аренды он вернулся в «Высочину».
Летом 2016 года для получения игровой практики Ян на правах аренды перешёл в датский «Брондбю»[9]. В матче против «Ольборга» он дебютировал в датской Суперлиге. 16 октября в поединке против «Норшелланн» Климент забил свой первый гол за «Брондбю»[10]. 8 июля 2017 года аренда Климента в «Брондбю» была продлена ещё на один сезон[11]. В начале апреля 2018 года Ян серьёзно травмировал колено из-за чего выбыл из строя на длительный срок[12].
В июне 2022 года стал игроком пльзеньской «Виктории», подписав с клубом двухлетний контракт[13].
.svg){kind=link}
