Меню Главная Случайная статья Настройки Константа Рамануджана — Зольднера Материал из https://ru.wikipedia.org Константа Рамануджана — Зольднера (также константа Зольднера) — вещественное число, определяемое как значение единственного положительного корня интегрального логарифма. Константе названа в честь Сринивасы Рамануджана и Иоганна фон Зольднера, которые в разное время вычислили её приближённое значение. Её значение равно примерно ${\displaystyle \mu \approx 1.45136923488338105028396848589202744949303228\cdots }$ (последовательность A070769 в OEIS). Содержание 1 Свойства 2 История вычисления 3 Примечания 4 Литература 5 Ссылки Свойства Неизвестно, является ли постоянная Рамануджана — Зольднера иррациональным числом, также неизвестно, иррационален ли её логарифм[1]. Поскольку интегральный логарифм определён как ${\displaystyle \mathrm {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}}$, верно ${\displaystyle \mathrm {li} (x)\;=\;\mathrm {li} (x)-\mathrm {li} (\mu )=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}-\int _{0}^{\mu }{\frac {dt}{\ln t}}=\int _{\mu }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}}$[2]. Это облегчает вычисление интеграла для ${\displaystyle x>1}$. Поскольку интегральная показательная функция удовлетворяет равенству ${\displaystyle \mathrm {li} (x)\;=\;\mathrm {Ei} (\ln {x})}$[3], то её единственный положительный корень равен натуральному логарифму константы Рамануджана — Зольднера[4]. Его величина ${\displaystyle \ln \mu \approx 0,372507410781366634461991866\cdots }$(последовательность A091723 в OEIS). Из разложения интегрального логарифма в ряд следует, что ${\displaystyle \gamma =-\ln \ln \mu -\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln ^{n}\mu }{n\cdot n!}}}$, где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера — Маскерони[5]. Другое разложение интегрального логарифма в ряд, обнаруженное Рамануджаном, показывает, что ${\displaystyle \gamma =-\ln \ln \mu +{\sqrt {\mu }}\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\ln ^{n}\mu }{2^{n-1}n!}}\sum \limits _{k=0}^{\lfloor {\frac {n-1}{2}}\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}}$[1]. Для последовательности ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {(-n)^{k}}{k!}}\sum _{\begin{array}{c}m_{1}+\cdots +m_{k}=n-1\\m_{i}>0\end{array}}{\frac {1}{m_{1}\cdot m_{1}!\cdots m_{k}\cdot m_{k}!}}}$ известны следующие суммы: ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\gamma n}=\ln \mu }$ ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n}}e^{-\gamma n}=\mu -1}$[6]. История вычисления В 1792 году Лоренцо Маскерони вычислил, что функция ${\displaystyle \operatorname {li} (z)}$ имеет нуль при ${\displaystyle z\approx 1,45137}$[7]. Зольднер в 1809 году улучшил точность до 10 знаков после запятой, получив 1,4513692346 (впрочем, в последнем знаке он ошибся)[8][9]. В 1913 году Рамануджан получил для ${\displaystyle \mu }$ значение 1,45136380. Он использовал его для вычисления интегрального логарифма, который, в свою очередь, входил в его оценку функции распределения простых чисел[10][11][9]. В 1990 году Брюс Берндт[англ.] и Рональд Эванс при помощи системы компьютерной алгебры Macsyma смогли улучшить известное значение ${\displaystyle \mu }$, получив 1,4513692349[9]. В 1999 году Паскаль Себа вычислил 10 000 знаков числа ${\displaystyle \mu }$, а в 2001 году он смог получить 75 500 знаков; для вычисления он применял метод Ньютона четвёртого порядка[12]. Его результат оставался рекордом по крайней мере до августа 2010 года. Для сравнения, постоянная Каталана ${\displaystyle G}$ была вычислена Себой и Гордоном в том же 2001 году с точностью более 100 миллионов знаков после запятой[13]. Примечания 1 2 Wolf, 2019, p. 2. Finch, 2003, p. 425. Weisstein, Eric W. Logarithmic Integral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Weisstein, Eric W. Exponential Integral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Wolf, 2019, p. 1. Krotkov, 2019, p. 6. Mascheronio, 1792, p. 17. Soldner, 1809, p. 42. 1 2 3 Berndt & Evans, 1991, p. 38. Hardy et al., 1927, p. 351. Hardy, 1978, p. 23, 45. Sebah, 2001. Sebah & Gourdon, 2010. Литература Mascheronio, Laurentio. Adnotationes ad calculum integralem Euleri: In quibus nonnulla Problemata ab Eulero proposita resolvuntur. Pars altera : [лат.]. — Ticini : Typographia Petri Galeatii, 1792. Soldner, Johan Georg. Thorie et tables d’une nouvelle fonction transcendante : Hardy, G. H. Further extracts from Ramanujan’s letters to G. H. Hardy // Collected Papers of Srinivasa Ramanujan : Hardy, G. H. Ramanujan and the theory of prime numbers // Ramanujan: twelve lectures on subjects suggested by his life and work : Berndt, Bruce C.; Evans, Ronald J. (18 ноября 1991). Some elegant approximations and asymptotic formulas of Ramanujan. Journal of Computational and Applied Mathematics. 37: 35–41. doi:10.1016/0377-0427(91)90104-R. Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier. Newton’s method and high order iterations (англ.) (3 октября 2001). Дата обращения: 8 сентября 2025. Finch, S. R. 6.2.2. Logarithmic Integral // Mathematical Constants. — Cambridge : Cambridge University Press, 2003. — P. 425. Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal. Constants and Records of Computation (англ.) (12 августа 2010). Дата обращения: 8 сентября 2025. Wolf, Marek. The relations between Euler-Mascheroni and Ramanujan–Soldner constants (англ.) (январь 2019). Дата обращения: 7 сентября 2025. Krotkov, Danil. On polynomials of binomial type, Ramanujan-Soldner constant and inverse logarithmic derivative operator (англ.) (9 июля 2019). Дата обращения: 7 сентября 2025. Ссылки Weisstein, Eric W. Soldner's Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.