Меню Главная Случайная статья Настройки Постоянная Каталана Материал из https://ru.wikipedia.org Постоянная Каталана — число, встречающееся в различных приложениях математики — в частности, в комбинаторике. Чаще всего обозначается буквой G, реже — K или C. Она может быть определена как сумма бесконечного знакочередующегося ряда: ${\displaystyle G=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\dots }$ Её численное значение приблизительно равно[1]: G = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … (последовательность A006752 в OEIS) Неизвестно, является ли G рациональным или иррациональным числом. Постоянная Каталана была названа в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана (фр. Eugne Charles Catalan). Содержание 1 Связь с другими функциями 2 Интегральные представления 3 Быстро сходящиеся ряды 4 Цепные дроби 5 Вычисление десятичных цифр 6 См. также 7 Примечания 8 Ссылки Связь с другими функциями Постоянная Каталана является частным случаем бета-функции Дирихле: ${\displaystyle G=\beta (2).}$ Она также соответствует частному значению функции Клаузена, которая связана с мнимой частью дилогарифма ${\displaystyle G=\operatorname {Cl} _{2}(\pi /2)=\operatorname {Im} \left(\operatorname {Li} _{2}(e^{i\pi /2})\right)=\operatorname {Im} {\big (}\operatorname {Li} _{2}(i){\big )}.}$ Кроме этого, она связана со значениями тригамма-функции (частный случай полигамма-функции) дробных аргументов ${\displaystyle \psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G,}$ ${\displaystyle \psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G,}$ так что ${\displaystyle G={\tfrac {1}{16}}\left[\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right].}$ Симон Плуфф[англ.] нашёл бесконечное множество тождеств между тригамма-функцией ${\displaystyle \psi _{1}}$, ${\displaystyle \pi ^{2}}$ и постоянной Каталана G. Постоянная Каталана также может быть выражена через частные значения G-функции Барнса и гамма-функции: ${\displaystyle G=4\pi \ln \left({\frac {G({\tfrac {3}{8}})G({\tfrac {7}{8}})}{G({\tfrac {1}{8}})G({\tfrac {5}{8}})}}\right)+4\pi \ln \left({\frac {\Gamma ({\tfrac {3}{8}})}{\Gamma ({\tfrac {1}{8}})}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\ln \left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2(2-{\sqrt {2}})}}\right).}$ Интегральные представления Ниже приведены некоторые интегральные представления постоянной Каталана G через интегралы от элементарных функций: ${\displaystyle G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt,}$ ${\displaystyle G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy,}$ ${\displaystyle G={\dfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin t}}\,dt,}$ ${\displaystyle G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}\,dx,}$ ${\displaystyle G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\cosh x}}\,dx.}$ Она также может быть представлена через интеграл от полного эллиптического интеграла первого рода K(x): ${\displaystyle G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (x)\,dx.}$ Быстро сходящиеся ряды Следующие формулы содержат быстро сходящиеся ряды, и их удобно использовать для численных вычислений: ${\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\ln({\sqrt {3}}+2)+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}}$ и ${\displaystyle G=}$ ${\displaystyle 3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-{}}$ ${\displaystyle {}-2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right).}$ Теоретическое обоснование использования рядов такого типа было дано Сринивасой Рамануджаном (Srnivsa Rmnujan Iyengar) для первой формулы[2] и Дэвидом Бродхёрстом (David J. Broadhurst) для второй формулы[3]. Алгоритмы быстрого вычисления постоянной Каталана были построены Е. А. Карацубой[4][5]. Цепные дроби Цепная дробь константы Каталана (последовательность A014538 в OEIS) выглядит следующим образом: ${\displaystyle G=[0;1,10,1,8,1,88,4,1,1,7,22,1,2,3,26,1,11,1,10,1,9,3,1,1,1,1,1,1,\dots ]=}$ ${\displaystyle =0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+\ldots }}}}}}}}\;}$ Известны следующие обобщённые цепные дроби для константы Каталана: ${\displaystyle 2G=2-{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{3+{\cfrac {4^{2}}{1+{\cfrac {4^{2}}{3+{\cfrac {6^{2}}{1+{\cfrac {6^{2}}{3+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {4n^{2}}{1+{\cfrac {4n^{2}}{3+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ ${\displaystyle 2G=1+{\cfrac {1}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1\cdot 2}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2\cdot 3}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {3^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {n\cdot (n+1)}{{\cfrac {1}{2}}+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ [6] Вычисление десятичных цифр Число известных значащих цифр постоянной Каталана G значительно выросло за последние десятилетия, благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов[7]. Число известных значащих цифр постоянной Каталана G Дата Количество значащих цифр Авторы вычисления 1865 14 Эжен Шарль Каталан 1877 20 Джеймс Уитбред Ли Глейшер 1913 32 Джеймс Уитбред Ли Глейшер 1990 20 000 Greg J. Fee 1996 50 000 Greg J. Fee 1996, 14 августа 100 000 Greg J. Fee и Симон Плуфф[англ.] 1996, 29 сентября 300 000 Thomas Papanikolaou 1996 1 500 000 Thomas Papanikolaou 1997 3 379 957 Patrick Demichel 1998, 4 января 12 500 000 Xavier Gourdon 2001 100 000 500 Xavier Gourdon & Pascal Sebah 2002 201 000 000 Xavier Gourdon & Pascal Sebah 2006, октябрь 5 000 000 000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[8] 2008, август 10 000 000 000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[9] 2009, 31 января 15 510 000 000 Alexander J. Yee & Raymond Chan[10] 2009, 16 апреля 31 026 000 000 Alexander J. Yee & Raymond Chan[10] См. также Дзета-функция Римана Бета-функция Дирихле Примечания Catalan's Constant to 1,500,000 Places  (неопр.) (HTML). gutenberg.org. Дата обращения: 5 февраля 2011. Архивировано 24 сентября 2009 года. B. C. Berndt, Ramanujan’s Notebook, Part I, Springer Verlag (1985). D. J. Broadhurst, «Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of (3) and (5) Архивная копия от 13 июля 2019 на Wayback Machine», (1998) arXiv math.CA/9803067. E. A. Карацуба. Быстрое вычисление трансцендентных функций // Проблемы передачи информации. — 1991. — Т. 27, № 4. — С. 87—110. E. A. Karatsuba, Fast computation of some special integrals of mathematical physics. Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods, W. Krmer, J. W. von Gudenberg, eds.; pp. 29—41 (2001). Steven R. Finch Mathematical Constants 1.6.6 X. Gourdon, P. Sebah, Constants and Records of Computation Архивная копия от 15 января 2011 на Wayback Machine Shigeru Kondo’s website Архивировано 11 февраля 2008 года. Constants and Records of Computation  (неопр.). Дата обращения: 6 февраля 2011. Архивировано 15 января 2011 года. 1 2 Large Computations  (неопр.). Дата обращения: 6 февраля 2011. Архивировано 9 декабря 2009 года. Ссылки Victor Adamchik, 33 representations for Catalan’s constant Victor Adamchik. A certain series associated with Catalan's constant (англ.) // Zeitschr. f. Analysis und ihre Anwendungen (ZAA) : journal. — 2002. — Vol. 21, no. 3. — P. 1—10. Simon Plouffe, A few identities (III) with Catalan Архивная копия от 20 апреля 2009 на Wayback Machine, (1993) Simon Plouffe, A few identities with Catalan constant and Pi Архивная копия от 21 апреля 2009 на Wayback Machine, (1999) Weisstein, Eric W. Catalan's Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Catalan constant: Generalized power series на сайте Wolfram Functions Greg Fee, Catalan’s Constant (Ramanujan’s Formula) (1996) David M. Bradley. A class of series acceleration formulae for Catalan's constant (англ.) // The Ramanujan Journal[англ.] : journal. — 1999. — Vol. 3, no. 2. — P. 159—173. — doi:10.1023/A:1006945407723. David M. Bradley (2007). A class of series acceleration formulae for Catalan's constant. arXiv:0706.0356.