Меню Главная Случайная статья Настройки Контактное число Материал из https://ru.wikipedia.org Контактное число (иногда число Ньютона[1][2], в химии соответствует координационному числу[2]) — максимальное количество n-мерных шаров единичного радиуса, которые могут одновременно касаться одного такого же шара в n-мерном евклидовом пространстве (предполагается, что шары не проникают друг в друга, то есть объём пересечения любых двух шаров равен нулю). Следует отличать контактное число от контактного числа на решётке[3] — аналогичного параметра для плотнейшей регулярной упаковки шаров. Вычисление контактного числа в общем случае до сих пор является нерешённой математической задачей. Содержание 1 История 2 Известные значения и оценки 3 Приложения 4 См. также 5 Примечания 6 Ссылки История В одномерном случае не более двух отрезков единичной длины могут касаться такого же отрезка: В двумерном случае можно интерпретировать задачу как нахождение максимального числа монет, касающихся центральной. Из рисунка видно, что разместить можно до 6 монет: Это значит, что ${\displaystyle N(2)\geqslant 6}$. С другой стороны, каждая касающаяся окружность отсекает на центральной окружности дугу в 60°, и эти дуги не пересекаются, значит ${\displaystyle N(2)\leqslant 360/60=6}$. Видно, что в данном случае оценки сверху и снизу совпали и ${\displaystyle N(2)=6}$. В трёхмерном случае речь идет о шарах. Здесь также легко построить пример с 12 шарами, касающимися центрального — они расположены в вершинах икосаэдра — поэтому ${\displaystyle N(3)\geqslant 12}$. Данная нижняя оценка была известна ещё Ньютону. Это расположение неплотное, между шарами будут довольно заметные зазоры. Оценка сверху стала причиной известного спора между Ньютоном и Д. Грегори в 1694 году. Ньютон утверждал, что ${\displaystyle N(3)=12}$, а Грегори возражал, что может быть можно расположить и 13 шаров. Он провёл вычисления и выяснил, что площадь центрального шара более чем в 14 раз больше площади проекции каждого из касающихся шаров, так что ${\displaystyle N(3)\leqslant 14}$. Если позволить менять радиусы шаров на 2 %, то оказывается возможным прислонить до 14 шаров. Лишь в 1953 году в статье Шютте и ван дер Вардена[4] была окончательно установлена правота Ньютона, несмотря на отсутствие у того строгого доказательства. В четырёхмерном случае представить себе шары достаточно сложно. Размещение 24 четырёхмерных сфер вокруг центральной было известно давно, оно столь же регулярное, как и в двумерном случае, и решает одновременно и задачу о контактном числе на решётке. Это то же размещение, что у целых единичных кватернионов. В явном виде это расположение было указано в 1900 году Госсетом[5]. Ещё раньше оно было найдено (в эквивалентной задаче) в 1872 году российскими математиками Коркиным и Золотарёвым[6][7]. Это расположение дало оценку снизу ${\displaystyle N(4)\geqslant 24}$. Попытки оценить это число сверху привели к развитию тонких методов теории функций, но не давали точного результата. Сначала удалось доказать, что ${\displaystyle N(4)\leqslant 26}$, потом удалось снизить верхнюю границу до ${\displaystyle N(4)\leqslant 25}$. И наконец в 2003 году российскому математику Олегу Мусину удалось доказать, что ${\displaystyle N(4)=24}$[8]. В размерностях 8 и 24 точная оценка была получена в 1970-е годы[9][10]. Доказательство основано на равенстве контактного числа и контактного числа на решётке в этих размерностях: решётки E8 (для размерности 8) и решётки Лича (для размерности 24). В 2025 году ИИ AlphaEvolve от компании Google DeepMind улучшил нижнюю границу контактного числа в 11-мерном пространстве с 592 до 593[11]. Известные значения и оценки В настоящее время точные значения контактных чисел известны только для ${\displaystyle n\leq 4}$, а также для ${\displaystyle n=8}$ и ${\displaystyle n=24}$. Для других размерностей известны только верхние и нижние оценки, но не точные значения[12]. Размерность Нижняя граница Верхняя граница 1 2 2 6 3 12 4 24[8] 5 40 44[13] 6 72 78[13] 7 126 134[13] 8 240 9 306 364[13] 10 510[14] 554 11 593[11] 870 12 840 1 357 13 1 154[15] 2 069 14 1 932[14] 3 183 15 2 564 4 866 16 4 320 7 355 17 5 346 11 072 18 7 398 16 572[13] 19 10 688 24 812[13] 20 17 400 36 764[13] 21 27 720 54 584[13] 22 49 896 82 340 23 93 150 124 416 24 196 560 Приложения Задача имеет практическое применение в теории кодирования. В 1948 году Клод Шеннон опубликовал работу по теории информации, показывающую возможность передачи данных без ошибок в зашумленных каналах связи используя координаты упаковки единичных сфер в n-мерном пространстве. См. также Расстояние Хэмминга. См. также Упаковка шаров Открытые математические проблемы Примечания Яглом, И. М. Проблема тринадцати шаров. — Киев: Вища школа, 1975. — 84 с. Архивировано 28 июня 2020 года. 1 2 Контактные числа на решётках: последовательность A001116 в OEIS Schtte, K. and van der Waerden, B. L. Das Problem der dreizehn Kugeln (неопр.) // Math. Ann.. — 1953. — Т. 125, № 1. — С. 325—334. — doi:10.1007/BF01343127. Gosset, Thorold. On the regular and semi-regular figures in space of n dimensions (англ.) // Messenger of Mathematics[англ.] : journal. — 1900. — Vol. 29. — P. 43—48. Korkine A., Zolotareff G. Sur les formes quadratiques positives quaternaires (неопр.) // Math. Ann.. — 1872. — Т. 5, № 4. — С. 581—583. — doi:10.1007/BF01442912. Рус. пер.: Н. Н. Андреев, В. А. Юдин. Арфиметический минимум квадратичной формы и сферические коды // Математическое просвещение. — 1998. — № 2. — С. 133—140. Архивировано 3 марта 2022 года. 1 2 Мусин О. Р. Проблема двадцати пяти сфер (рус.) // Успехи математических наук. — Российская академия наук, 2003. — Т. 58, № 4(352). — С. 153—154. Левенштейн В. И. О границах для упаковок в n-мерном евклидовом пространстве // ДАН СССР. — 1979. — Т. 245. — С. 1299—1303. A. M. Odlyzko, N. J. A. Sloane. New bounds on the number of unit spheres that can touch a unit sphere in n dimensions (англ.) // J. Combin. Theory Ser. A : journal. — 1979. — Vol. 26. — P. 210—214. — doi:10.1016/0097-3165(79)90074-8. 1 2 Meet AlphaEvolve, the Google AI that writes its own code—and just saved millions in computing costs 1 2 3 4 5 6 7 8 Hans D. Mittelmann and Frank Vallentin. [http://arxiv.org/abs/0902.1105 High-Accuracy Semidefinite Programming Bounds for Kissing Numbers] // Experimental Mathematics. — 2010. — Т. 19, № 2. — С. 174—178. Архивировано 11 августа 2020 года. 1 2 Mikhail Ganzhinov. Highly symmetric lines // arXiv:2207.08266 [math]. — 2022-07-17. Архивировано 30 марта 2023 года. В. А. Зиновьев, Т. Эриксон. Новые нижние оценки на контактное число для небольших размерностей // Пробл. передачи информ.. — 1999. — Т. 35, № 4. — С. 3—11. Ссылки Контактное число шаров и сферические коды. Математические этюды. Шарыгин, Г. И. Контактные числа и проблема тринадцати шаров // Математика. — Издательский дом «Первое сентября», 2007. — № 9 (623). Шарыгин, Г. И. Контактные числа и проблема тринадцати шаров // Потенциал. — 2009. — № 6. Арестов В. В., Бабенко А. Г. О схеме Дельсарта оценки контактных чисел // Труды Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. — 1997. — Т. 219. — С. 44—73.