Меню Главная Случайная статья Настройки Коэффициенты формул численного дифференцирования Материал из https://ru.wikipedia.org В математике для приближённого вычисления производных заданной таблично функции можно искать выражение значений производных через известные значения функции с помощью подходящего набора коэффициентов. Для этого можно использовать различные интерполяционные формулы или метод неопределённых коэффициентов. Содержание 1 Равноотстоящие узлы 1.1 Симметричные коэффициенты 1.2 Коэффициенты вперёд 1.3 Коэффициенты назад 2 Произвольная сетка узлов 3 Примечания 4 Литература 5 Ссылки 6 См. также Равноотстоящие узлы Пусть ${\displaystyle x_{0}}$ — точка, в которой необходимо вычислить производные достаточно гладкой функции ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle x_{k}=x_{0}+kh}$ — сетка равноотстоящих узлов с шагом ${\displaystyle h}$ и известны значения функции ${\displaystyle f}$ в этих узлах. В этом случае можно выразить формулы численного дифференцирования непосредственно через значения функции ${\displaystyle f}$ с помощью интерполяционной формулы Лагранжа. Такие формулы называются также безразностными, так как не требуют вычисления конечных или разделённых разностей[1]. В зависимости от расположения точки ${\displaystyle x_{0}}$ в сетке узлов (слева, справа или посередине) различают соответственно коэффициенты, вычисленные «вперёд», «назад» и симметричные коэффициенты. Симметричные коэффициенты Для получения симметричных коэффициентов число узлов в сетке должно быть нечётным. Тогда порядок погрешности приближения будет чётным числом. Порядок производной Порядок погрешности 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 1 2 1/2 0 1/2 4 1/12 2/3 0 2/3 1/12 6 1/60 3/20 3/4 0 3/4 3/20 1/60 8 1/280 4/105 1/5 4/5 0 4/5 1/5 4/105 1/280 2 2 1 2 1 4 1/12 4/3 5/2 4/3 1/12 6 1/90 3/20 3/2 49/18 3/2 3/20 1/90 8 1/560 8/315 1/5 8/5 205/72 8/5 1/5 8/315 1/560 3 2 1/2 1 0 1 1/2 4 1/8 1 13/8 0 13/8 1 1/8 6 7/240 3/10 169/120 61/30 0 61/30 169/120 3/10 7/240 4 2 1 4 6 4 1 4 1/6 2 13/2 28/3 13/2 2 1/6 6 7/240 2/5 169/60 122/15 91/8 122/15 169/60 2/5 7/240 5 2 1/2 2 5/2 0 5/2 2 1/2 4 1/6 3/2 13/3 29/6 0 29/6 13/3 3/2 1/6 6 13/288 19/36 87/32 13/2 323/48 0 323/48 13/2 87/32 19/36 13/288 6 2 1 6 15 20 15 6 1 4 1/4 3 13 29 75/2 29 13 3 1/4 6 13/240 19/24 87/16 39/2 323/8 1023/20 323/8 39/2 87/16 19/24 13/240 Например, третья производная с погрешностью второго порядка вычисляется как ${\displaystyle f'''(x_{0})={\frac {-{\frac {1}{2}}f(x_{-2})+f(x_{-1})-f(x_{+1})+{\frac {1}{2}}f(x_{+2})}{h^{3}}}+O\left(h^{2}\right)~.}$ Коэффициенты вперёд Порядок производной Порядок погрешности 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1               2 3/2 2 1/2             3 11/6 3 3/2 1/3           4 25/12 4 3 4/3 1/4         5 137/60 5 5 10/3 5/4 1/5       6 49/20 6 15/2 20/3 15/4 6/5 1/6     2 1 1 2 1             2 2 5 4 1           3 35/12 26/3 19/2 14/3 11/12         4 15/4 77/6 107/6 13 61/12 5/6       5 203/45 87/5 117/4 254/9 33/2 27/5 137/180     6 469/90 223/10 879/20 949/18 41 201/10 1019/180 7/10   3 1 1 3 3 1           2 5/2 9 12 7 3/2         3 17/4 71/4 59/2 49/2 41/4 7/4       4 49/8 29 461/8 62 307/8 13 15/8     5 967/120 638/15 3929/40 389/3 2545/24 268/5 1849/120 29/15   6 801/80 349/6 18353/120 2391/10 1457/6 4891/30 561/8 527/30 469/240 4 1 1 4 6 4 1         2 3 14 26 24 11 2       3 35/6 31 137/2 242/3 107/2 19 17/6     4 28/3 111/2 142 1219/6 176 185/2 82/3 7/2   5 1069/80 1316/15 15289/60 2144/5 10993/24 4772/15 2803/20 536/15 967/240 Например, первая производная с погрешностью третьего порядка и вторая производная с погрешностью второго порядка вычисляются как ${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {-{\frac {11}{6}}f(x_{0})+3f(x_{+1})-{\frac {3}{2}}f(x_{+2})+{\frac {1}{3}}f(x_{+3})}{h}}+O\left(h^{3}\right)~,}$ ${\displaystyle f''(x_{0})={\frac {2f(x_{0})-5f(x_{+1})+4f(x_{+2})-f(x_{+3})}{h^{2}}}+O\left(h^{2}\right)~.}$ Нетрудно видеть, что коэффициенты для погрешности первого порядка представляют собой биномиальные коэффициенты с меняющимися знаками, что соответствует общей формуле для восходящих конечных разностей. Коэффициенты назад Для получения коэффициентов назад необходимо обратить знаки у коэффициентов вперёд для производных нечётных порядков и зеркально отразить таблицу коэффициентов справа налево: Порядок производной Порядок погрешности 5 4 3 2 1 0 1 1         1 1 2       1/2 2 3/2 3     1/3 3/2 3 11/6 2 1       1 2 1 2     1 4 5 2 3 1     1 3 3 1 2   3/2 7 12 9 5/2 4 1   1 4 6 4 1 2 2 11 24 26 14 3 Например, первая производная с погрешностью третьего порядка и вторая производная с погрешностью второго порядка вычисляются как ${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {{\frac {11}{6}}f(x_{0})-3f(x_{-1})+{\frac {3}{2}}f(x_{-2})-{\frac {1}{3}}f(x_{-3})}{h}}+O\left(h^{3}\right)~,}$ ${\displaystyle f''(x_{0})={\frac {2f(x_{0})-5f(x_{-1})+4f(x_{-2})-f(x_{-3})}{h^{2}}}+O\left(h^{2}\right)~.}$ Произвольная сетка узлов Для получения коэффициентов для произвольно расположенных узлов ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{N}}$ удобно использовать метод неопределённых коэффициентов[2]. Для этого значение искомой производной порядка ${\displaystyle k}$ в точке ${\displaystyle x_{j}}$ записывается в виде ${\displaystyle f^{(k)}(x_{j})=\sum \limits _{i=0}^{N}c_{i}f(x_{i})+R(f)~,}$ где ${\displaystyle c_{i}}$ — неизвестные коэффициенты, ${\displaystyle R}$ — остаточный член интерполяции. Коэффициенты ${\displaystyle c_{i}}$ подбираются из условия ${\displaystyle R(f)=0}$, которое должно выполняться для функций ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle x^{2}}$,..., ${\displaystyle x^{N}}$. Получается следующая система линейных уравнений: ${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}1&1&\ldots &1\\x_{0}&x_{1}&\ldots &x_{N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{0}^{k-1}&x_{1}^{k-1}&\ldots &x_{N}^{k-1}\\x_{0}^{k}&x_{1}^{k}&\ldots &x_{N}^{k}\\x_{0}^{k+1}&x_{1}^{k+1}&\ldots &x_{N}^{k+1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{0}^{N}&x_{1}^{N}&\ldots &x_{N}^{N}\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}c_{0}\\c_{1}\\\vdots \\c_{k-1}\\c_{k}\\c_{k+1}\\\vdots \\c_{N}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\0\\\vdots \\0\\k!\\(k+1)!x_{j}\\\vdots \\N(N-1)\ldots (N-k+1)x_{j}^{N-k}\end{array}}\right)~.}$ В этом случае погрешность вычислений будет иметь порядок ${\displaystyle N-k+1}$. Матрица системы является матрицей Вандермонда, которая также возникает при решении общей задачи интерполяции многочленами. Примечания Березин, Жидков, 1962, с. 230. Березин, Жидков, 1962, с. 234. Литература Березин, И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений (рус.). — 2-е изд. — М.: Физматлит, 1962. — Т. I. Fornberg, B.. Generation of Finite Difference Formulas on Arbitrarily Spaced Grids (англ.) // Mathematics of Computation. — 1988. — Vol. 51. — P. 699—706. — doi:10.1090/S0025-5718-1988-0935077-0. Ссылки Калькулятор коэффициентов для произвольных сеток узлов (численно) См. также Метод конечных разностей