Куадрадо — воспитанник клуба «Мильонариос». В 2005 году он дебютировал в Кубке Мустанга. В 2010 году Хосе перешёл в «Депортиво Кали». 28 февраля в матче против «Атлетико Хуниор» он дебютировал за новый клуб[3]. По итогам сезона Хосе стал обладателем Кубка Колумбии. Кадрадо проиграл конкуренцию за место в основе уругвайцу Хуану Кастильо и в начале 2011 года присоединился к «Депортиво Пасто». 5 февраля в матче против «Вальедупара» он дебютировал в Примере B[4]. 14 апреля в поединке против «Кортулуа» Куадрадо забил свой первый гол за «Депортиво Пасто», в дополнительное время реализовав пенальти[5]. По итогам сезона Хосе помог команде выйти в элиту, проведя все игры без замен. 4 февраля 2012 года в матче против «Депортес Киндио» он дебютировал за команду на высшем уровне[6].
В начале 2013 года Куадрадо перешёл в «Онсе Кальдас». 23 февраля в матче против своего бывшего клуба «Мильонариос» он дебютировал за новый клуб[7].
