Меню Главная Случайная статья Настройки Кэлерово многообразие Материал из https://ru.wikipedia.org Кэлерово многообразие — многообразие с тремя взаимно совместимыми структурами: комплексной структурой, римановой метрикой и симплектической формой. Названы в честь немецкого математика Эриха Келера. Содержание 1 Определения 2 Связь между определениями 3 Кэлеров потенциал 4 Примеры 5 См. также 6 Литература Определения Как симплектическое многообразие: кэлерово многообразие — симплектическое многообразие ${\displaystyle (K,\omega )}$ с интегрируемой почти комплексной структурой, которая согласуется с симплектической формой. Как комплексное многообразие: кэлерово многообразие представляет собой эрмитово многообразие[англ.] с замкнутой эрмитовой формой. Такая эрмитова форма называется кэлеровой. Связь между определениями Пусть ${\displaystyle h}$ — эрмитова форма, ${\displaystyle \omega }$ — симплектическая форма и ${\displaystyle J}$ — почти комплексная структура. Согласуемость ${\displaystyle \omega }$ и ${\displaystyle J}$ означает, что форма: ${\displaystyle g(u,v)=\omega (u,Jv)}$ является римановой; то есть положительно определённой. Связь между этими структурами можно выразить тождеством: ${\displaystyle h=g-i\omega .}$ Кэлеров потенциал На комплексном многообразии ${\displaystyle K}$ каждая строго плюригармоническая функция[англ.] ${\displaystyle \rho \in C^{\infty }(K;\mathbb {R} )}$ порождает кэлерову форму ${\displaystyle \omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\rho .}$ При этом функция ${\displaystyle \rho }$ называется кэлеровым потенциалом формы ${\displaystyle \omega }$. Локально верно обратное. Точнее, для каждой точки ${\displaystyle p}$ кэлерова многообразия ${\displaystyle (K,\omega )}$ существует окрестность ${\displaystyle U\ni p}$ и функция ${\displaystyle \rho \in C^{\infty }(U,\mathbb {R} )}$ такая, что ${\displaystyle \omega \vert _{U}=i\partial {\bar {\partial }}\rho }$. При этом ${\displaystyle \rho }$ называется локальным Кэлеровым потенциалом формы ${\displaystyle \omega }$. Примеры Комплексное евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ со стандартной эрмитовой формой. Каждая риманова метрика на ориентируемой поверхности определяет кэлерово многообразие, поскольку замкнутость ${\displaystyle \omega }$ тривиальна в вещественной размерности два. Комплексное проективное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}}$ с метрикой Фубини — Штуди. Индуцированная метрика на комплексное подмногообразии в кэлеровом многообразии. В частности, любое многообразие Штейна[англ.] и любое проективное алгебраическое многообразие. По теореме Кодайры о вложении кэлерово многообразие, допускающее положительное расслоение со слоем прямая, вкладывается в проективное пространство. K3-поверхности Важным подклассом кэлеровых многообразий являются многообразия Калаби — Яу. См. также Почти комплексного многообразия Литература P. Deligne, Ph. Griffiths, J. Morgan, D. Sullivan. Real homotopy theory of Khler manifolds // Invent. Math. — 1975. — Т. 29. — С. 245–274. — doi:10.1007/BF01389853. E. Khler. ber eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. — 1933. — Т. 9. — С. 173–186. — doi:10.1007/BF02940642. R. Hartshorne. Algebraic Geometry. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1977. — ISBN 978-0-387-90244-9. Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds. Infinite Dimensional Khler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8.