Линнес — воспитанник клуба «Конгсвингер» из своего родного города. 5 мая 2010 года в матче против «Саннефьорда» он дебютировал в Типпелиге[4]. По итогам сезона клуб вылетел в Суперэттан, но Мартин остался в команде. 26 июня 2011 года в поединке против «Брюне» он забил свой первый гол за клуб[5].
В начале 2012 года Линнес перешёл в «Молде». 23 марта в поединке против «Стрёмсгодсета» он дебютировал за новую команду[6]. 4 августа в матче против «Согндала» Мартин забил свой первый гол за Мольде[7]. В составе клуба он дважды выиграл чемпионат и Кубок Норвегии. 17 сентября в поединке Лиги Европы против турецкого «Фенербахче» Мартин забил один из мячей[8].
