Ru.Wikipedia.Org - Логарифмические тождества

Меню
Главная
Случайная статья
Настройки

Логарифмические тождества
Материал из https://ru.wikipedia.org

Данная статья содержит сводку разнообразных алгебраических и аналитических тождеств, связанных с логарифмами. Эти тождества особенно полезны при решении алгебраических и дифференциальных уравнений, содержащих логарифмы.

Далее все переменные подразумеваются вещественными, основания логарифма и логарифмируемые выражения положительны, причём основание логарифма не равно 1. Обобщение на комплексные числа см. в статье Комплексный логарифм.

Содержание

Алгебраические тождества

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество^[1]:

a^{\log _{a}b}=b

Ещё несколько равенств, очевидных из определения логарифма:

\log _{a}1=0

\log _{a}a=1

\log _{a}a^{b}=b

Логарифм произведения, частного от деления, степени и корня

Сводка тождеств^[2]:

	Формула	Пример	Доказательство
Произведение	$\log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)$	$\log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5$
Частное от деления	$\log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)$	$\lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3$
Степень	$\log _{a}(x^{p})=p\log _{a}(x)$	$\log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6$	Доказательство $\log _{a}{x^{p}}=y$ $a^{y}=x^{p}$ $a^{\frac {y}{p}}=x$ $log_{a}{x}={\frac {y}{p}}$ $p\cdot log_{a}{x}=y$
Степень в основании	$\log _{(a^{p})}(x)={\frac {1}{p}}\log _{a}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{p}}$	$\log _{2^{10}}{\sin {({\frac {\pi }{6}})}}={\frac {\log _{2}{\frac {1}{2}}}{10}}=-{\frac {1}{10}}=-0.1$
Корень	$\log _{a}{\sqrt[{p}]{(x)}}={\frac {1}{p}}\log _{a}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{p}}$	$\lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1.5$
Корень в основании	$\log _{\sqrt[{p}]{a}}(x)=p\log _{a}(x)$	$\log _{\sqrt {\pi }}{(4\cdot \arctan {1})}=2\cdot \log _{\pi }{(4\cdot {\frac {\pi }{4}})}=2\cdot \log _{\pi }{(\pi )}=2$

Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные значения переменных, например:

\log _{a}|xy|=\log _{a}|x|+\log _{a}|y|

\log _{a}\!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\log _{a}|x|-\log _{a}|y|

Формулы для логарифма произведения без труда обобщаются на произвольное количество сомножителей:

\log _{a}(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\log _{a}(x_{1})+\log _{a}(x_{2})+\dots +\log _{a}(x_{n})

\log _{a}|x_{1}x_{2}\dots x_{n}|=\log _{a}|x_{1}|+\log _{a}|x_{2}|+\dots +\log _{a}|x_{n}|

Логарифм суммы и разности

Хотя логарифм суммы (или разности) не выражается через логарифмы слагаемых, приведенные ниже формулы могут оказаться полезными.

\log _{a}(b+c)=\log _{a}b+\log _{a}\left(1+{\frac {c}{b}}\right)

\log _{a}(b-c)=\log _{a}b+\log _{a}\left(1-{\frac {c}{b}}\right),\quad

здесь

b>c

Обобщение:

\log _{a}\sum \limits _{k=1}^{N}b_{k}=\log _{a}b_{1}+\log _{a}\left(1+\sum \limits _{k=2}^{N}{\frac {b_{k}}{b_{1}}}\right)=\log _{a}b_{1}+\log _{a}\left(1+\sum \limits _{k=2}^{N}a^{\left(\log _{a}b_{k}-\log _{a}b_{1}\right)}\right)

Замена основания логарифма

Логарифм

\log _{a}b

по основанию

a

можно преобразовать^[3] в логарифм по другому основанию

c

\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}

Следствие (при

b=c

) — перестановка основания и логарифмируемого выражения:

\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}

Другие тождества

Если выражения для основания логарифма и для логарифмируемого выражения содержат возведение в степень, для упрощения можно применить следующее тождество:

{\log _{a^{q}}{b}}^{p}={\frac {p}{q}}\log _{a}{b}

Это тождество сразу получается, если в логарифме слева заменить основание

a^{q}

на

a

по вышеприведённой формуле замены основания. Следствия:

\log _{a^{k}}b={\frac {1}{k}}\log _{a}b;\quad \log _{\sqrt[{n}]{a}}b=n\log _{a}b;\quad \log _{a^{k}}b^{k}=\log _{a}b

Ещё одно полезное тождество:

c^{\log _{a}b}=b^{\log _{a}c}

Для его доказательства заметим, что логарифмы левой и правой частей по основанию

a

совпадают (равны

\log _{a}b\cdot \log _{a}c

), а тогда левая и правая части тождественно равны. Прологарифмировав предыдущее тождество по произвольному основанию

d,

получаем ещё одно тождество «обмена основаниями»:

\log _{a}b\cdot \log _{d}c=\log _{d}b\cdot \log _{a}c

Это тождество легко распространить на любое число сомножителей, например:

\log _{a}x\cdot \log _{b}y\cdot \log _{c}z\cdot \log _{d}w=\log _{b}x\cdot \log _{d}y\cdot \log _{c}z\cdot \log _{a}w

Другими словами, в произведении такого вида можно делать произвольную перестановку оснований логарифмов.

x^{\frac {\log _{a}b}{\log _{a}x}}=b

Это тождество также просто доказать, прологарифмировав обе части по основанию

x.

\log _{xy}a={\frac {1}{{\frac {1}{\log _{x}a}}+{\frac {1}{\log _{y}a}}}}

Для доказательства этого тождества надо дважды применить приведенное выше правило перестановки:

{\frac {1}{\log _{x}a}}=\log _{a}x;\quad {\frac {1}{\log _{y}a}}=\log _{a}y;\quad {\frac {1}{\log _{a}(xy)}}=\log _{xy}a

Аналитические тождества

Предельные соотношения

Приведём несколько полезных пределов, связанных с логарифмами^[4]:

\lim _{x\to 0}{\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}=\log _{a}e={\frac {1}{\ln a}}

\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0\quad (b>0)

\lim _{x\to \infty }{\frac {\log _{a}x}{x^{b}}}=0\quad (b>0)

\ln x=\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\right)

\ln x=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}

Производная и интеграл

Производная для логарифмической функции вычисляется по формуле:

{d \over dx}\ln x={1 \over x},

{d \over dx}\log _{a}x={1 \over x\ln a}={\log _{a}e \over x}

Определение логарифма через определённый интеграл:

\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt

Первообразная для логарифма:

\int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C

\int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C

Чтобы привести формулы для интегралов высоких порядков, обозначим

H_{n}\ n-

е по порядку гармоническое число:

H_{n}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dots +{\frac {1}{n}}

Далее обозначим:

x^{\left[0\right]}=\ln x

x^{\left[n\right]}=x^{n}(\ln x-H_{n});\quad

(

n=1,2,3\dots

)

Мы получаем последовательность функций:

x^{\left[1\right]}=x\ln x-x

x^{\left[2\right]}=x^{2}\ln x-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}

x^{\left[3\right]}=x^{3}\ln x-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}

и т. д. Тогда имеют место тождества:

{\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]};\quad

(

n=1,2,3\dots

)

\int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C;\quad

(

n=0,1,2,3\dots

)

Примечания

Алгебра и начала анализа. Учебник для 10—11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 233.
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 187.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, с. 34.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, стр. 164.

Литература

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
- Переиздание: АСТ, 2003, ISBN 5-17-009554-6.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Logarithm (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.