Меню Главная Случайная статья Настройки Гармоническое число Материал из https://ru.wikipedia.org В математике n-м гармоническим числом называется сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда: ${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}.}$ Гармонические числа являются частичными суммами гармонического ряда. Изучение гармонических чисел началось в античности. Они имеют важное значение в различных областях теории чисел и теории алгоритмов и, в частности, тесно связаны с дзета-функцией Римана. Содержание 1 Альтернативные определения 1.1 Дополнительные представления 2 Производящая функция 3 Свойства 3.1 Значения от нецелого аргумента 3.2 Суммы, связанные с гармоническими числами 3.3 3.4 Тождества, связанные с гармоническими числами 3.5 Гармонические числа в разложениях функций в ряды 3.6 Гармонические числа в результатах интегрирования 3.7 Пределы, связанные с гармоническими числами 3.8 Приближённое вычисление 3.9 Теоретико-числовые свойства 3.10 Некоторые значения гармонических чисел 4 Приложения 5 Обобщения 6 См. также 7 Примечания Альтернативные определения Гармонические числа можно определить рекуррентно следующим образом: ${\displaystyle {\begin{cases}H_{n}=H_{n-1}+{\frac {1}{n}}\\H_{1}=1\end{cases}}}$ Также верно соотношение: ${\displaystyle H_{n}=\psi (n+1)+\gamma ={\frac {\Gamma '(n+1)}{\Gamma (n+1)}}+\gamma }$, где ${\displaystyle \psi (n)}$ — дигамма-функция, ${\displaystyle \gamma =-\psi (1)}$ — постоянная Эйлера — Маскерони. Еще соотношения: ${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}}$ ${\displaystyle H_{n}={n}\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1}}{\frac {(-1)^{k+1}}{k^{2}}}={(-1)^{n-1}}{n}\Delta ^{n-1}{1}^{-2},}$ где ${\displaystyle \Delta ^{n}{1}^{-2}=\Delta ^{n}{x}^{-2}}$ в точке ${\displaystyle {x}=1}$ - верхняя конечная разность n-го порядка функции ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{x}^{2}}}}$. Дополнительные представления Нижеследующие формулы могут быть использованы для вычисления гармонических чисел (в том числе и в точках, отличных от точек натурального ряда): интегральные представления: ${\displaystyle H_{x}=\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{x}}{1-t}}dt,\quad Re(x)>-1}$ предельные представления: ${\displaystyle H_{x}=\lim _{n\to \infty }\left(\ln(n)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{x+k+1}}\right)+\gamma }$ ${\displaystyle H_{x}=x\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)(x+k+1)}}}$; разложение в ряд Тейлора в точке ${\displaystyle x=0}$: ${\displaystyle H_{x}=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\zeta (k+1)x^{k}=\zeta (2)x-\zeta (3)x^{2}+\zeta (4)x^{3}-\zeta (5)x^{4}+\cdots ,}$ где ${\displaystyle \zeta (x)}$ — дзета-функция Римана; асимптотическое разложение: ${\displaystyle H_{x}=\gamma +\ln(x)+{\frac {1}{2x}}-{\frac {1}{12x^{2}}}+{\frac {1}{120x^{4}}}-{\frac {1}{252x^{6}}}+{\frac {1}{240x^{8}}}-{\frac {1}{132x^{10}}}+\cdots }$. Производящая функция ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }H_{k}z^{k}=-{\frac {\ln(1-z)}{1-z}}}$ Свойства Значения от нецелого аргумента ${\displaystyle H_{1/2}=2-2\ln 2}$ ${\displaystyle H_{1/3}=3-{\frac {3\ln 3}{2}}-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}}$ ${\displaystyle H_{1/4}=4-3\ln 2-{\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle H_{1/5}=5-{\frac {5\ln 5}{4}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\pi -{\frac {\sqrt {5}}{2}}\ln \varphi ,}$ где ${\displaystyle \varphi }$ — золотое сечение. ${\displaystyle H_{1/7}=7-\ln 14-{\frac {\pi }{2}}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{7}}-2\cos \left({\frac {\pi }{7}}\right)\ln \left(\cos {\frac {\pi }{14}}\right)+2\sin \left({\frac {3\pi }{14}}\right)\ln \left(\sin {\frac {\pi }{7}}\right)-2\sin \left({\frac {\pi }{14}}\right)\ln \left(\cos {\frac {3\pi }{14}}\right)}$ Суммы, связанные с гармоническими числами ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{H_{k}}=(n+1){H_{n}}-n=(n+1)({H_{n+1}}-1)}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k}}=\infty }$ Cуществует общая формула суммирования целого класса рядов, содержащих гармонические числа: ${\displaystyle 2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{m}}}=(m+2)\zeta (m+1)-\sum _{k=1}^{m-2}\zeta (m-k)\zeta (k+1)\,m\geq 2}$ Из выражения выше вытекают следующие соотношения: ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{2}}}=2\zeta (3)}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{3}}}={\frac {1}{2}}\zeta (2)^{2}={\frac {5}{4}}\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{72}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{4}}}=3\zeta (5)-\zeta (2)\zeta (3)=3\zeta (5)-{\frac {\pi ^{2}}{6}}\zeta (3)}$ Другая общая формула суммирования: ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}H_{k}}{k^{2m}}}=\left(m+{\frac {1}{2}}\right)\eta (2m+1)-{\frac {1}{2}}\zeta (2m+1)-\sum _{i=1}^{m-1}\eta (2i)\zeta (2m-2i+1)\,m\geq 1}$ Прочие знакопеременные ряды: ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}H_{k}}{k^{3}}}={\frac {11}{4}}\zeta (4)+{\frac {1}{2}}\zeta (2)\ln ^{2}2-{\frac {7}{4}}\zeta (3)\ln 2-{\frac {1}{12}}\ln ^{4}2-2\operatorname {Li} _{4}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {11\pi ^{4}}{360}}+{\frac {\pi ^{2}}{12}}\ln ^{2}2-{\frac {7}{4}}\zeta (3)\ln 2-{\frac {1}{12}}\ln ^{4}2-2\operatorname {Li} _{4}\left({\frac {1}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}H_{2k}}{k^{3}}}={\frac {195}{32}}\zeta (4)+{\frac {5}{4}}\zeta (2)\ln ^{2}2-{\frac {35}{8}}\zeta (3)\ln 2-{\frac {5}{24}}\ln ^{4}2-5\operatorname {Li} _{4}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {195\pi ^{4}}{2880}}+{\frac {5\pi ^{2}}{24}}\ln ^{2}2-{\frac {35}{8}}\zeta (3)\ln 2-{\frac {5}{24}}\ln ^{4}2-5\operatorname {Li} _{4}\left({\frac {1}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}H_{2k}}{k^{4}}}={\frac {\pi }{192}}\psi ^{(3)}\left({\frac {1}{4}}\right)-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\zeta (3)-{\frac {437}{64}}\zeta (5)-{\frac {\pi ^{5}}{24}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2^{2k}H_{k}}{\displaystyle k^{3}{\binom {2k}{k}}}}=\zeta (4)+8\zeta (2)\ln ^{2}2-{\frac {1}{3}}\ln ^{4}2-8\operatorname {Li} _{4}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{4}}{90}}+{\frac {4\pi ^{2}}{3}}\ln ^{2}2-{\frac {1}{3}}\ln ^{4}2-8\operatorname {Li} _{4}\left({\frac {1}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2^{2k}H_{2k}}{\displaystyle k^{3}{\binom {2k}{k}}}}=8\zeta (2)\ln ^{2}2+{\frac {65}{8}}\zeta (4)-{\frac {5}{6}}\ln ^{4}2-20\operatorname {Li} _{4}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {4\pi ^{2}}{3}}\ln ^{2}2+{\frac {13\pi ^{4}}{144}}-{\frac {5}{6}}\ln ^{4}2-20\operatorname {Li} _{4}\left({\frac {1}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}H_{2n}^{2}}{(2n)^{2}}}={\frac {23}{32}}\zeta (2)\zeta (3)+{\frac {917}{128}}\zeta (5)+{\frac {2}{3}}\zeta (2)\ln ^{3}2-{\frac {7}{4}}\zeta (3)\ln ^{2}2-{\frac {2}{15}}\ln ^{5}2-4\operatorname {Li} _{4}\left({\frac {1}{2}}\right)\ln 2-4\operatorname {Li} _{5}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {23\pi ^{2}}{192}}\zeta (3)+{\frac {917}{128}}\zeta (5)+{\frac {2\pi ^{2}}{18}}\ln ^{3}2-{\frac {7}{4}}\zeta (3)\ln ^{2}2-{\frac {2}{15}}\ln ^{5}2-4\operatorname {Li} _{4}\left({\frac {1}{2}}\right)\ln 2-4\operatorname {Li} _{5}\left({\frac {1}{2}}\right)}$ Тождества, связанные с гармоническими числами ${\displaystyle (H_{n})^{3}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{ijk}}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{k=j+1}^{1}{\frac {1}{ijk}}={\frac {1}{2}}H_{n}(H_{n}^{2}-\zeta _{n}(2))}$, где ${\displaystyle \zeta _{n}(2)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}(2)=(H_{n})^{2}-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {2H_{k}}{k+1}}-1}$, где ${\displaystyle \zeta _{n}(2)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}}$ ${\displaystyle H_{n^{2}}+1=(H_{n})^{2}+\sum _{k=1}^{n-1}\left(H_{(k+1)^{2}-1}-{\frac {2H_{k}}{k+1}}-H_{k^{2}}\right)}$ ${\displaystyle \sum _{i+j=u}{\frac {1}{ij}}={\frac {2H_{u-1}}{u}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n}$ ${\displaystyle H_{n}=\lim _{t\to 0}\,\int {\frac {(t+1)^{(-n-1)}+t-1}{t}}\,dt}$ Гармонические числа в разложениях функций в ряды Используя произведение Коши[англ.], нетрудно установить, что, например ${\displaystyle \operatorname {arth} ^{2}t={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }t^{2n}{\frac {2H_{2n}-H_{n}}{n}}}$ Кроме того, они появляются и в некоторых рядах Фурье, в том числе ${\displaystyle \ln ^{2}(\operatorname {tg} x)={\frac {\pi ^{2}}{4}}+4\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {H_{2n}}{n}}-{\frac {H_{n}}{2n}}\right)\cos(4nx)}$, и в прочих степенных рядах: ${\displaystyle {\frac {\ln \left({\frac {1-x}{1+x}}\right)}{1-x^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }(H_{n}-2H_{2n})x^{2n-1}}$ Гармонические числа в результатах интегрирования ${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\frac {(-1)^{n-1}+\cos(2n\theta )}{\cos(\theta )}}{\textrm {d}}\theta =(-1)^{n-1}(2H_{2n}-H_{n})}$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2n-1}\operatorname {arth} (x){\textrm {d}}x={\frac {H_{2n}}{2n}}-{\frac {H_{n}}{4n}}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2n-1}\ln(1-x)\ dx=-{\frac {H_{2n}}{2n}}}$ Пределы, связанные с гармоническими числами ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }H_{n}-H_{n-kn}=-\ln(1-k),\,0\leq k\leq 1}$ Приближённое вычисление С помощью формулы суммирования Эйлера-Маклорена получаем следующую формулу: ${\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}+\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}-\theta _{m,n}{\frac {B_{2m+2}}{(2m+2)n^{2m+2}}},}$ где ${\displaystyle 0<\theta _{m,n}<1}$, ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера, которую можно вычислить быстрее из других соображений[каких?], а ${\displaystyle B_{k}}$ — числа Бернулли. Теоретико-числовые свойства Теорема Вольстенхольма утверждает, что для всякого простого числа ${\displaystyle p>3}$ выполняется сравнение: ${\displaystyle H_{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}.}$ Некоторые значения гармонических чисел ${\displaystyle {\begin{matrix}H_{1}&=&1\\\\H_{2}&=&{\frac {3}{2}}&=&1{,}5\\\\H_{3}&=&{\frac {11}{6}}&\approx &1{,}833\\\\H_{4}&=&{\frac {25}{12}}&\approx &2{,}083\\\\H_{5}&=&{\frac {137}{60}}&\approx &2{,}283\end{matrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}H_{6}&=&{\frac {49}{20}}&=&2{,}45\\\\H_{7}&=&{\frac {363}{140}}&\approx &2{,}593\\\\H_{8}&=&{\frac {761}{280}}&\approx &2{,}718\\\\H_{10^{3}}&\approx &7{,}485\\\\H_{10^{6}}&\approx &14{,}393\end{matrix}}}$ Числитель и знаменатель несократимой дроби, представляющей собой n-e гармоническое число, являются Приложения В 2002 году Lagarias доказал[1], что гипотеза Римана о нулях дзета-функции Римана эквивалентна утверждению, что неравенство ${\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{H_{n}}}$ верно при всех целых ${\displaystyle n\geq 1}$ со строгим неравенством при ${\displaystyle n>1}$, где ${\displaystyle \sigma (n)}$ — сумма делителей числа ${\displaystyle n}$. Обобщения Обобщённые гармонические числа Гипергармонические числа Гармонические числа Романа См. также Теорема Вольстенхольма Примечания Jeffrey Lagarias. An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis // Amer. Math. Monthly. — 2002. — № 109. — С. 534-543. Архивировано 27 июня 2021 года.