Меню Главная Случайная статья Настройки Логика высшего порядка Материал из https://ru.wikipedia.org Логика высшего порядка в математике и логике — форма предикатной логики, которая отличается от логики первого порядка дополнительными предикатами над предикатами, кванторами над ними, и, соответственно, более богатой семантикой. Логики высшего порядка с их стандартными семантиками более выразительны, но их модельно-теоретические свойства значительно более сложны для изучения и применения по сравнению с логикой первого порядка. Логика первого порядка квантифицирует только переменные; логика второго порядка допускает также квантификацию предикатов и функциональных символов (над множествами); логика третьего порядка использует и квантифицирует предикаты над предикатами (множества множеств), и так далее. Например, предложение второго порядка ${\displaystyle \forall P((0\in P\land \forall i(i\in P\to i+1\in P))\to \forall n(n\in P))}$ выражает принцип математической индукции. Логика высшего порядка включает все логики более низкого порядка; иначе говоря, логика высшего порядка допускает высказывания с предикатами (над множествами) более низкой глубины вложенности. Содержание 1 Примеры и свойства 2 См. также 3 Примечания 4 Литература 5 Ссылки Примеры и свойства Логика высшего порядка включает ответвления простой теории типов[1] Чёрча и различные формы интуиционистской теории типов. Жерар Юэ показал, что задача унификации алгоритмически неразрешима в интуиционистской разновидности логики третьего порядка[2][3][4], то есть не существует алгоритма, который определял бы, есть ли решение у произвольного уравнения над термами третьего порядка (и тем более термами произвольного порядка выше третьего). С учётом понятия изоморфизма операция булеана определяется в логике второго порядка. Используя это наблюдение, Хинтикка установил в 1955 году, что логики высшего порядка могут быть представлены логикой второго порядка в том смысле, что для каждой формулы логики высшего порядка можно найти соответствующую равновыполнимую формулу логики второго порядка[5]. В некоторых контекстах предполагается, что понятие логики высшего порядка относится к классической логике высшего порядка. Однако модальная логика высшего порядка также изучалась. Согласно некоторым учёным-логикам онтологическое доказательство[англ.] Гёделя лучше всего изучено (с технической точки зрения) именно в таком контексте[6]. См. также Логика первого порядка Логика второго порядка Грамматика высшего порядка[англ.] Интуиционистская теория типов Многосортная логика[англ.] Типизированное лямбда-исчисление Модальная логика Примечания Чёрч, Алонзо, A formulation of the simple theory of types Архивная копия от 15 ноября 2018 на Wayback Machine, The Journal of Symbolic Logic 5(2):56–68 (1940) Huet, Grard P. The Undecidability of Unification in Third Order Logic (англ.) // Information and Control[англ.] : journal. — 1973. — Vol. 22, no. 3. — P. 257—267. — doi:10.1016/s0019-9958(73)90301-x. Архивировано 21 января 2022 года. Huet, Grard (Сентябрь 1976). Resolution d'Equations dans des Langages d'Ordre 1,2,... (Ph.D.). Universite de Paris VII. статья в Стэнфордской философской энциклопедии о логике высшего порядка . Дата обращения: 9 августа 2016. Архивировано 17 июня 2016 года. Литература Andrews, Peter B. (2002). An Introduction to Mathematical Logic and Type Theory: To Truth Through Proof, 2nd ed, Kluwer Academic Publishers, ISBN 1-4020-0763-9 Stewart Shapiro, 1991, "Foundations Without Foundationalism: A Case for Second-Order Logic". Oxford University Press., ISBN 0-19-825029-0 Stewart Shapiro, 2001, "Classical Logic II: Higher Order Logic," in Lou Goble, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic. Blackwell, ISBN 0-631-20693-0 Lambek, J. and Scott, P. J., 1986. Introduction to Higher Order Categorical Logic, Cambridge University Press, ISBN 0-521-35653-9 Ссылки Andrews, Peter B, Church's Type Theory в Стэнфордской философской энциклопедии. Miller, Dale, 1991, "Logic: Higher-order," Encyclopedia of Artificial Intelligence, 2nd ed. Herbert B. Enderton, Second-order and Higher-order Logic в Стэнфордской философской энциклопедии, опубликовано 20 декабря 2007 года; существенно переработано 4 марта 2009 года.