Меню Главная Случайная статья Настройки Магический шестиугольник Материал из https://ru.wikipedia.org Магический шестиугольник или магический гексагон порядка ${\displaystyle n}$ — набор чисел, расположенный в центрированной шестиугольной решётке со стороной ${\displaystyle n}$ таким образом, что сумма чисел в каждой строке во всех направлениях равна некоей магической константе ${\displaystyle M.}$ Порядок n = 1 ${\displaystyle M=1}$ Порядок n = 3 ${\displaystyle M=38}$ Обычный магический шестиугольник может быть только порядка ${\displaystyle n=1}$ (случай тривиален, и здесь речь о нём идти не будет) или ${\displaystyle n=3}$ и может содержать числа от единицы до ${\displaystyle 3n^{2}-3n+1.}$ Более того, если не считать зеркальных, существует только один магический шестиугольник порядка ${\displaystyle n=3.}$ Магический шестиугольник публиковался много раз как новое явление. Первооткрывателем, вероятно, является Эрнст фон Хасельберг (нем. Ernst von Haselberg) в 1887 году. [источник не указан 4053 дня] Содержание 1 Доказательство единственности 2 Аномальные магические шестиугольники 3 См. также 4 Примечания 5 Литература Доказательство единственности Докажем, что существуют магические шестиугольники только порядка ${\displaystyle n=1}$ и ${\displaystyle n=3.}$ Вычислим магическую константу ${\displaystyle M.}$ С одной стороны, гексагон содержит числа от единицы до ${\displaystyle 3n^{2}-3n+1}$ (это легко доказать, разложив фигуру на три параллелограмма). То есть, сумма всех чисел в гексагоне ${\displaystyle S={\cfrac {3n^{2}-3n+1}{2}}(3n^{2}-3n+2).}$ С другой стороны, есть ${\displaystyle 2n-1}$ рядов (например, вертикальных), которые включают в себя все числа в шестиугольнике. Так как сумма чисел в каждом ряду равна ${\displaystyle M,}$ то во всём шестиугольнике будет ${\displaystyle S=M(2n-1).}$ Приравняв суммы, получим, что ${\displaystyle 32M=72n^{3}-108n^{2}+90n-27+{\cfrac {5}{2n-1}}}$ Слева стоит целое число. Значит, справа должно тоже быть целое число. Значит, ${\displaystyle {\cfrac {5}{2n-1}}}$ — это целое число, что возможно только при ${\displaystyle n=1}$ и ${\displaystyle n=3.}$ QED. Аномальные магические шестиугольники Хотя нормальных магических шестиугольников порядка, отличного от ${\displaystyle n=3}$ не существует, существуют аномальные магические шестиугольники иных порядков. Аномальными магическими шестиугольниками назовём шестиугольники, образованные по указанным выше правилам, однако, начинающие отсчёт чисел не от единицы, а от иного числа. 14333034 396242022 37131182517 21237931038 3645122826 3516182715 19312932 4151634544 642540463534 23201056274266 55381996224847 6158181187131553 5237141630122459 57322921173949 313662285433 4326606550 5661706751 554536485368 74372629273973 6242331916313864 585722201518234349 6347282117303465 71352432254672 594440415269 5460756650 Порядок 4 ${\displaystyle M=111}$ Начинается с ${\displaystyle 3}$ и кончается ${\displaystyle 39}$ Порядок 5 ${\displaystyle M=244}$ Начинается с ${\displaystyle 7}$ и кончается ${\displaystyle 66}$. Порядок 5 ${\displaystyle M=305}$ Начинается с ${\displaystyle 15}$ и кончается ${\displaystyle 75}$. Магический гексагон порядка ${\displaystyle n=6}$, начинающийся с ${\displaystyle 21}$ и кончающийся ${\displaystyle 111}$ (${\displaystyle M=546}$) был создан Louis Hoelbling 11 октября 2004 года. Гексагон порядка ${\displaystyle n=7}$, начинающийся с 2 и кончающийся 128 (${\displaystyle M=635}$) был создан Arsen Zahray 22 марта 2006 года. Наибольший из известных на данный момент гексагон порядка ${\displaystyle n=8}$, начинающийся с 84 и кончающийся 84 (${\displaystyle M=0}$) был создан Louis K. Hoelbling 5 февраля 2006 года. См. также Магический и супермагический квадрат Магический куб Чисугвимундо Примечания Литература Baker. J. E. and King, D. R. (2004) «The use of visual schema to find properties of a hexagon» Visual Mathematics, Volume 5, Number 3 Baker, J. E. and Baker, A. J. (2004) «The hexagon, nature’s choice» Archimedes, Volume 4