Меню Главная Случайная статья Настройки Определитель Вандермонда Материал из https://ru.wikipedia.org Определитель Вандермонда — выражение вида ${\displaystyle \left|V(x_{1},\ldots ,x_{n})\right|={\begin{vmatrix}1&x_{1}&\ldots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&\ldots &x_{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&\ldots &x_{n}^{n-1}\\\end{vmatrix}}=\prod \limits _{1\leqslant j<i\leqslant n}(x_{i}-x_{j}),}$ где ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ — элементы некоторого поля. Матрицей Вандермонда называется либо матрица ${\displaystyle V(x_{1},\ldots ,x_{n})}$[1][2], либо её транспонированная версия ${\displaystyle V^{\mathrm {T} }(x_{1},\ldots ,x_{n})}$[3][4][5][6]. Матрица и её определитель названы в честь французского математика А. Т. Вандермонда[7]. Определитель Вандермонда равен нулю тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна пара ${\displaystyle \left(x_{i},x_{j}\right)}$ такая, что ${\displaystyle x_{i}=x_{j},i\neq j}$[8]. Содержание 1 Доказательство 2 Свойства 3 Применение 4 Быстрое умножение вектора на матрицу Вандермонда 5 Примечания Доказательство Индукция по размеру матрицы ${\displaystyle m}$. База индукции ${\displaystyle m=2}$. В данном случае матрица представляет собой ${\displaystyle V_{2}={\begin{bmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\\\end{bmatrix}}}$ Очевидно, её определитель равен ${\displaystyle x_{2}-x_{1}}$. Индукционное предположение ${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{m-2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{m-2}\\.&.&.&.&.\\1&x_{m-1}&x_{m-1}^{2}&\dots &x_{m-1}^{m-2}\\\end{vmatrix}}=\prod \limits _{1\leqslant i<j\leqslant m-1}(x_{j}-x_{i})}$ Индукционный переход ${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{m-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{m-1}\\.&.&.&.&.\\1&x_{m}&x_{m}^{2}&\dots &x_{m}^{m-1}\\\end{vmatrix}}}$ Вычтем из последнего столбца предпоследний, умноженный на ${\displaystyle x_{1}}$, из ${\displaystyle m-2}$-го — ${\displaystyle m-3}$-й, умноженный на ${\displaystyle x_{1}}$, из ${\displaystyle i}$-го — ${\displaystyle i-1}$-й, умноженный на ${\displaystyle x_{1}}$ и так далее для всех столбцов. Эти преобразования не меняют определитель матрицы. Получим ${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&0&0&\dots &0\\1&x_{2}-x_{1}&x_{2}(x_{2}-x_{1})&\dots &x_{2}^{m-2}(x_{2}-x_{1})\\.&.&.&.&.\\1&x_{m}-x_{1}&x_{m}(x_{m}-x_{1})&\dots &x_{m}^{m-2}(x_{m}-x_{1})\\\end{vmatrix}}}$ Раскладывая этот определитель по элементам первой строки, получаем, что он равен следующему определителю: ${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&x_{2}(x_{2}-x_{1})&\dots &x_{2}^{m-2}(x_{2}-x_{1})\\.&.&.&.\\x_{m}-x_{1}&x_{m}(x_{m}-x_{1})&\dots &x_{m}^{m-2}(x_{m}-x_{1})\\\end{vmatrix}}}$ Для всех ${\displaystyle i}$ от 1 до ${\displaystyle m-1}$ вынесем из ${\displaystyle i}$-й строки множитель ${\displaystyle x_{i+1}-x_{1}}$. Получим ${\displaystyle (x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{1})\dots (x_{m}-x_{1}){\begin{vmatrix}1&x_{2}&\dots &x_{2}^{m-2}\\.&.&.&.\\1&x_{m}&\dots &x_{m}^{m-2}\\\end{vmatrix}}}$ Подставим значение имеющегося в предыдущей формуле определителя, известного из индукционного предположения: ${\displaystyle (x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{1})\dots (x_{m}-x_{1})\prod \limits _{2\leqslant i<j\leqslant m}(x_{j}-x_{i})=\prod \limits _{1\leqslant i<j\leqslant m}(x_{j}-x_{i})}$