Меню Главная Случайная статья Настройки Матрицы Дирака Материал из https://ru.wikipedia.org Матрицы Дирака (также известные как гамма-матрицы) — набор матриц, удовлетворяющих особым антикоммутационным соотношениям. Часто используются в релятивистской квантовой механике. Содержание 1 Определение 1.1 Пятая гамма-матрица, 2 Блочная структура 3 Тождества 4 См. также 5 Литература Определение Матрицами Дирака называется любой набор матриц, удовлетворяющих уравнению ${\displaystyle \displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I,}$ где ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$ — метрика Минковского сигнатуры ${\displaystyle \left(+---\right),}$ I — единичная матрица, фигурные скобки обозначают антикоммутатор. Один из возможных способов выбрать матрицы Дирака в четырёхмерном пространстве такой: ${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}}$ (Дираковское представление; используются также представления Вейля и Майораны). Пятая гамма-матрица, Полезно определить произведение четырёх гамма-матриц следующим образом: ${\displaystyle \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}}$ (в представлении Дирака). ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ можно записать в альтернативном виде: ${\displaystyle \gamma ^{5}={\frac {i}{4!}}\varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta },}$ где ${\displaystyle \varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }}$ — тензор Леви-Чивиты. Эта матрица полезна при обсуждении хиральности в квантовой механике. Так, дираковское спинорное поле можно спроецировать на его левую или правую компоненту: ${\displaystyle \psi _{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\psi ,\qquad \psi _{R}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}\psi }$. Некоторые свойства ${\displaystyle \gamma ^{5}}$: Эрмитовость: ${\displaystyle (\gamma ^{5})^{\dagger }=\gamma ^{5}.}$ Собственные значения равны ±1, поскольку ${\displaystyle (\gamma ^{5})^{2}=I.}$ Антикоммутирует с четырьмя другими гамма-матрицами: ${\displaystyle \left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\right\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0.}$ Блочная структура Матрицы Дирака могут быть компактно записаны как блочные матрицы с использованием матриц Паули 1, 2, 3, дополненных единичной матрицей ${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{bmatrix}I&0\\0&-I\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{1}\\-\sigma _{1}&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{2}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{2}\\-\sigma _{2}&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{3}\\-\sigma _{3}&0\end{bmatrix}}.}$ В представлении Вейля ${\displaystyle \gamma ^{k}}$ остаются теми же, но ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ отличается, поэтому ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ тоже изменена: ${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{bmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{bmatrix}-I&0\\0&I\end{bmatrix}}.}$ Представление Вейля имеет то преимущество, что в нём хиральные проекции принимают простую форму: ${\displaystyle \psi _{L}={\frac {1}{2}}(1-\gamma ^{5})\psi ={\begin{bmatrix}I&0\\0&0\end{bmatrix}}\psi ,\quad \psi _{R}={\frac {1}{2}}(1+\gamma ^{5})\psi ={\begin{bmatrix}0&0\\0&I\end{bmatrix}}\psi .}$ Существует также представление Майораны, в котором все гамма-матрицы мнимые, а спиноры вещественные: ${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{2}\\\sigma _{2}&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{bmatrix}i\sigma _{3}&0\\0&i\sigma _{3}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \gamma ^{2}={\begin{bmatrix}0&-\sigma _{2}\\\sigma _{2}&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{bmatrix}-i\sigma _{1}&0\\0&-i\sigma _{1}\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{bmatrix}\sigma _{2}&0\\0&-\sigma _{2}\end{bmatrix}}.}$ В современной науке основным является определяющее свойство гамма-матриц, а не их числовое представление. Тождества № Тождество 1 ${\displaystyle \displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I}$ 2 ${\displaystyle \displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu }}$ 3 ${\displaystyle \displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I}$ 4 ${\displaystyle \displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }}$ 5 ${\displaystyle \displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\lambda }=\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\lambda }+\eta ^{\nu \lambda }\gamma ^{\mu }-\eta ^{\mu \lambda }\gamma ^{\nu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \lambda }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}}$ № Тождество 0 ${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu })=0}$ 1 Любое произведение нечётного числа ${\displaystyle \gamma _{\mu }}$ имеет нулевой след. 2 ${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })=4\eta ^{\mu \nu }}$ 3 ${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma })=4(\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho })}$ 4 ${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{5})=\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5})=0}$ 5 ${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5})=4i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }}$ Также для матриц Дирака выполняются тождества Фирца. Определение гамма-матриц обобщается на пространства других размерностей, где их количество может отличаться. См. также Уравнение Дирака Кватернионы Тождества Фирца Литература Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск: РХД, 2009. — 632 с. W. Pauli. Contributions mathmatiques la thorie des matrices de Dirac (фр.) // Ann. Inst. Henri Poincar[англ.] : magazine. — 1936. — Vol. 6. — P. 109.