Меню Главная Случайная статья Настройки Множество Данцера Материал из https://ru.wikipedia.org Множество Данцера — множество точек евклидова пространства, которое пересекается с любым выпуклым телом единичного объёма. Людвиг Данцер задал вопрос, возможно ли такое множество ограниченной плотности[1][2]. Некоторые варианты задачи остаются нерешёнными. Содержание 1 Плотность 2 Ограниченное покрытие 3 Разделение 4 Дополнительные свойства 5 См. также 6 Примечания 7 Литература Плотность Один из путей более формальной формулировки задачи — рассматривать скорость роста множества ${\displaystyle S}$ в ${\displaystyle d}$-мерном евклидовом пространстве, определяемым как функция, отображающая вещественные числа ${\displaystyle r}$ в точки ${\displaystyle S}$, находящиеся на расстоянии ${\displaystyle r}$ от начала координат. Вопрос Данцера — может ли множество Данцера иметь скорость роста ${\displaystyle O(r^{d})}$, скорость роста вполне разнесённых множеств точек, подобных целочисленной решётки (которая не является множеством Данцера)[2]. Можно построить множество Данцера со скоростью роста в пределах полулогарифмического коэффициента ${\displaystyle O(r^{d})}$. Например, при наложении прямоугольных сеток, ячейки которых имеют постоянный объём, но различные пропорции[англ.], можно достичь скорости роста ${\displaystyle O(n^{d}\log ^{d-1}n)}$[3]. Построения множеств Данцера известны с чуть меньшей скоростью роста ${\displaystyle O(r^{d}\log r)}$, но ответ на вопрос Данцера остаётся неизвестным[4]. Ограниченное покрытие Другой вариант задачи, предложенный Тимоти Гауэрсом, спрашивает, существует ли множество Данцера ${\displaystyle S}$, для которого существует конечная граница ${\displaystyle C}$ на число точек пересечения ${\displaystyle S}$ и любого выпуклого тела единичного объёма[5]. Этот вариант был решён — такое множество Данцера невозможно[6]. Разделение Третьим вариантом задачи, который остаётся нерешённым, является задача Конвея о мёртвых мухах. Конвей, Джон Хортон вспоминал, что будучи ребёнком, он спал в комнате с обоями, на которых цветы напоминали кучу мёртвых мух, и он пытался найти выпуклую область, которая не содержала мух[7]. В формулировке Конвея вопрос состоит в том, существует ли множество Данцера, в котором точки множества (мёртвые мухи) отделены друг от друга на ограниченное расстояние. Такое множество обязательно будет иметь верхнюю границу расстояний от каждой точки плоскости до мёртвой мухи (ведь это множество пересекается с каждым кругом единичной площади). Иначе говоря, оно должно образовать множество Делоне, множество, имеющее как ненулевую нижнюю границу, так и конечную границу расстояний между точками. Это множество обязательно будет иметь скорость роста ${\displaystyle O(r^{d})}$, так что если оно существует, то оно должно решать и изначальный вариант вопроса Данцера. Конвей предложил приз в $1000 за решение задачи[8], как часть набора задач, в который входят также задача Конвея о 99-вершинном графе, анализ игры с монетами[англ.] и гипотеза о трекле[8]. Дополнительные свойства Множества Данцера не могут быть объединением конечного множества решёток[3], образованными выбором точки из каждой плитки подстановки (в той же позиции для каждой плитки того же типа) и не могут быть сгенерированы методом вырежь-и-спроецируй построения апериодичных мозаик. В частности, вершины мозаики «Вертушка» и мозаики Пенроуза не являются множествами Данцера[4]. См. также Задача Хайльбронна о треугольниках[англ.] на множестве точек, которые не имеют малой площади. Теорема Минковского, что любое замкнутое выпуклое тело единичного объёма с центом симметрии в начале координат содержит ненулевое число точек полу-целочисленной решётки. Примечания Fenchel, 1967, с. 308–325 Problem 6 (Danzer). 1 2 Croft, Falconer, Guy, 1991, с. 148. 1 2 Bambah, Woods, 1971, с. 295–301. 1 2 Solomon, Weiss, 2016, с. 1053–1074. Gowers, 2000, с. 79–117. Solan, Solomon, Weiss, 2017, с. 6584–6598. Roberts, 2015, с. 382. 1 2 Conway, 2017. Литература John Horton Conway. Five $1,000 Problems. — On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, 2017.. См. также Шаблон:OEIS el. Bambah R. P., Woods A. C. On a problem of Danzer // Pacific Journal of Mathematics. — 1971. — Т. 37. Hallard T. Croft, Kenneth J. Falconer, Richard K. Guy. E14: Positioning convex sets relative to discrete sets // Unsolved problems in geometry. — Springer-Verlag, New York, 1991. — С. 148. — (Problem Books in Mathematics). — ISBN 0-387-97506-3. — doi:10.1007/978-1-4612-0963-8. Rough structure and classification // Geometric and Functional Analysis. — 2000. — Вып. Special Volume, Part I. — doi:10.1007/978-3-0346-0422-2_4. Omri Solan, Yaar Solomon, Barak Weiss. On problems of Danzer and Gowers and dynamics on the space of closed subsets of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ // International Mathematics Research Notices. — 2017. — Вып. 21. — doi:10.1093/imrn/rnw204. — arXiv:1510.07179. Yaar Solomon, Barak Weiss. Dense forests and Danzer sets // Annales Scientifiques de l'cole Normale Suprieure. — 2016. — Т. 49, вып. 5. — doi:10.24033/asens.2303. — arXiv:1406.3807.