Меню Главная Случайная статья Настройки Модуль непрерывности Материал из https://ru.wikipedia.org Для любой функции ${\displaystyle f}$, определённой на множестве ${\displaystyle E}$, можно ввести понятие модуля непрерывности этой функции, обозначаемого ${\displaystyle \omega _{f}(\delta )}$. Модуль непрерывности — тоже функция, по определению равная ${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=\sup\{|f(x_{1})-f(x_{2})|\colon (x_{1},\;x_{2}\in E)\land |x_{1}-x_{2}|<\delta \},}$ или верхней грани колебания функции по всем подотрезкам из ${\displaystyle E}$ длиной меньше ${\displaystyle \delta }$. Также в литературе встречаются другие обозначения: ${\displaystyle \omega (f,\;\delta )}$ и (реже) ${\displaystyle \omega (\delta ,\;f)}$. Содержание 1 Свойства модуля непрерывности 2 Связанные понятия 3 Вариации и обобщения 3.1 Модули непрерывности высших порядков 3.1.1 Свойства 3.2 Неклассические модули непрерывности 4 Ссылки Свойства модуля непрерывности Введённая функция обладает рядом интересных свойств. При любом ${\displaystyle \delta }$ она неотрицательна. Функция не убывает. Функция полуаддитивна, если ${\displaystyle E}$ выпукло: ${\displaystyle \omega _{f}(\delta _{1}+\delta _{2})\leqslant \omega _{f}(\delta _{1})+\omega _{f}(\delta _{2}).}$ По определению в точке 0 модуль непрерывности равен 0: ${\displaystyle \omega _{f}(0){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}0.}$ Теорема о равномерной непрерывности может быть сформулирована следующим образом. Если функция ${\displaystyle f}$ определена на отрезке ${\displaystyle [a,\;b]}$ и непрерывна на нём, то ${\displaystyle \lim _{\delta \to 0+}{\omega _{f}(\delta )}=0}$, и наоборот. Данный предел обозначается также ${\displaystyle \omega _{f}(0+)}$. Если ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна на ${\displaystyle [a,\;b]}$, то её модуль непрерывности также непрерывная функция на отрезке ${\displaystyle [0,\;b-a]}$. Связанные понятия Модуль непрерывности оказался тонким инструментом исследования разнообразных свойств функции, таких как: принадлежность классам Липшица и Гёльдера; гладкость; дифференцируемость; возможности эффективного приближения функции полиномами (неравенство Джексона — Стечкина) и многих других. Вариации и обобщения Модули непрерывности высших порядков Нетрудно заметить, что в определении модуля непрерывности используется конечная разность первого порядка от функции ${\displaystyle f}$. ${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=\sup\{|\Delta _{h}^{1}(f,\;x)|\colon (x\in E)\land |h|<\delta \}.}$ Если вместо конечной разности первого порядка взять конечную разность порядка ${\displaystyle n}$, то получим определение модуля непрерывности порядка ${\displaystyle n}$. Обычное обозначение для таких модулей — ${\displaystyle \omega _{n}(f,\;\delta )}$. Если ${\displaystyle k}$ — целое число, то ${\displaystyle \omega _{n}(f,\;k\delta )\leqslant k^{n}\omega _{n}(f,\;\delta ).}$ Неклассические модули непрерывности Известно много разных обобщений понятия модуля непрерывности. Например, можно заменить оператор конечной разности другим разностным оператором с произвольными коэффициентами. Можно разрешить этим коэффициентам быть непостоянными и меняться в зависимости от точки, где берётся этот разностный оператор. Можно разрешить и шагу, с которым берётся разностный оператор также зависеть от точки. Подобные неклассические модули непрерывности находят своё применение в различных областях современной математики. Ссылки Модуль непрерывности и обобщенные пространства Гёльдера