Меню Главная Случайная статья Настройки Неравенство Коши — Буняковского Материал из https://ru.wikipedia.org Неравенство Коши — Буняковского говорит, что скалярное произведение векторов (в евклидовом или гильбертовом пространстве) по модулю не превосходит произведения их норм. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы. Частный случай неравенства Гёльдера и неравенства Йенсена[1]. Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца и неравенством Коши — Буняковского — Шварца, хотя работы Шварца на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского[2]. Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году. Содержание 1 Формулировка 2 Примеры 3 Литература 4 Примечания Формулировка Пусть дано линейное пространство ${\displaystyle L}$ со скалярным произведением ${\displaystyle \langle x,\;y\rangle }$. Пусть ${\displaystyle \|x\|}$ — норма, порождённая скалярным произведением, то есть ${\displaystyle \|x\|\equiv {\sqrt {\langle x,\;x\rangle }},\;\forall x\in L}$. Тогда для любых ${\displaystyle x,\;y\in L}$ имеем: ${\displaystyle |\langle x,\;y\rangle |\leqslant \|x\|\cdot \|y\|,}$ причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ линейно зависимы (коллинеарны, или среди них есть нулевой). Примеры Важным частным случаем, часто использующимся в теории чисел, является случай, когда один из векторов полностью состоит из единиц: ${\displaystyle \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}}\right)^{2}\leq \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{1}}\right)\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}=n\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}$ В пространстве комплекснозначных квадратично суммируемых последовательностей ${\displaystyle l^{2}}$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид: ${\displaystyle \left|\sum \limits _{k=1}^{\infty }x_{k}{\bar {y}}_{k}\right|^{2}\leqslant \left(\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{2}\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{\infty }|y_{k}|^{2}\right),}$ где ${\displaystyle {\bar {y}}_{k}}$ обозначает комплексное сопряжение ${\displaystyle y_{k}}$. В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций ${\displaystyle L^{2}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид: ${\displaystyle \left|\int \limits _{X}f(x){\overline {g(x)}}\,\mu (dx)\right|^{2}\leqslant \left(\int \limits _{X}\left|f(x)\right|^{2}\,\mu (dx)\right)\cdot \left(\int \limits _{X}\left|g(x)\right|^{2}\,\mu (dx)\right).}$ В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом ${\displaystyle L^{2}(\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;\mathbb {P} )}$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид: ${\displaystyle \mathrm {cov} ^{2}(X,\;Y)\leqslant \mathrm {D} [X]\cdot \mathrm {D} [Y],}$ где ${\displaystyle \mathrm {cov} }$ обозначает ковариацию, а ${\displaystyle \mathrm {D} }$ — дисперсию. Для двух случайных величин ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид: ${\displaystyle \left[\mathbf {M} (\eta \cdot \xi )\right]^{2}\leqslant \mathbf {M} \eta ^{2}\cdot \mathbf {M} \xi ^{2}.}$ Существует лишь несколько сущностно различных подходов к доказательству неравенства. Однако, ввиду его универсальности, одни и те же приводящие к нему формальные операции можно описывать в разных терминах. Из-за этого некоторые авторы представляют неравенство как имеющее чрезвычайно много доказательств.[3] Для удобства изложения в данном разделе, когда не указано иное, описываются доказательства только для пространства конечной размерности над ${\displaystyle \mathbb {R} }$, то есть для конечных последовательностей ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$, ${\displaystyle (y_{1},\dots ,y_{n})}$. Абстрактный, через проекции вектора не вектор (подходит и для комплексного, и для бесконечномерного случая) А) Сформулируем определение скалярного произведения Скалярное произведение в линейной алгебре над комплексными числами имеет следующие три определяющие свойства (аксиомы): Аксиома 1) оно есть полуторалинейная (в теоретической физике часто говорят просто "билинейная") форма, то есть: ${\displaystyle \langle a+b,c\rangle =\langle a,c\rangle +\langle b,c\rangle }$ ${\displaystyle \langle a,b+c\rangle =\langle a,b\rangle +\langle a,c\rangle }$ ${\displaystyle \langle a,\alpha b\rangle =\alpha \langle a,b\rangle }$ ${\displaystyle \langle \alpha a,b\rangle ={\overline {\alpha }}\langle a,b\rangle }$ для любых векторов ${\displaystyle a,b,c}$ и любого комплексного числа ${\displaystyle \alpha }$. Слово "полуторалинейная" означает наличие комплексного сопряжения при "вытаскивании за форму" коэффициента при первом аргументе формы (четвертое равенство). В "действительной" линейной алгебре этого сопряжения нет, и форма называется билинейной, однако это является частным случаем, ибо комплексное сопряжение действительного числа его не меняет. Таковое определение принято для того, чтобы "спасти" аксиому положительной определенности (Аксиому 3 ниже) скалярного произведения столбцов. В "действительном" случае таковое произведение равно ${\displaystyle A^{T}B}$, но над комплексными числами выражение ${\displaystyle A^{T}A}$ (сумма квадратов комплексных чисел) не обязательно даже действительно, не говоря уж о положительности. Выражение же ${\displaystyle A^{*}A}$ является суммой квадратов модулей компонент столбца (выраженией вида ${\displaystyle a_{i}{\overline {a_{i}}}}$), и оно действительно и положительно для любого ненулевого ${\displaystyle A}$. "Действительный" случай получается из комплексного а) опусканием всех комплексных сопряжений и б) заменой всех ${\displaystyle A^{*}}$ на ${\displaystyle A^{T}}$ (ибо по определению ${\displaystyle A^{*}={\overline {A}}^{T}}$). Аксиома 2) оно есть эрмитова форма, то есть: ${\displaystyle \langle a,b\rangle ={\overline {\langle b,a\rangle }}}$ для любых векторов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. В "действительном" случае комплексное сопряжение опускается, и форма называется симметрической. Аксиома 3) оно есть положительно определенная форма, то есть: ${\displaystyle \langle a,a\rangle \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \langle a,a\rangle >0}$ для любого ненулевого вектора ${\displaystyle a}$. Б) Теперь сформулируем определения параллельной и ортогональной проекции вектора на другой вектор Параллельной проекцией вектора ${\displaystyle a}$ на вектор ${\displaystyle b}$ называется вектор: ${\displaystyle a\parallel b=\left({\frac {\langle b,a\rangle }{\langle b,b\rangle }}\right)b}$ Этот вектор существует всегда, когда ${\displaystyle \langle b,b\rangle \neq 0}$, то есть - по Аксиоме 3 - когда ${\displaystyle b\neq 0}$. Поскольку в скобках стоит число, этот вектор действительно параллелен вектору ${\displaystyle b}$. Ортогональной проекцией вектора ${\displaystyle a}$ на вектор ${\displaystyle b}$ называется вектор: ${\displaystyle a\perp b=a-a\parallel b}$ Докажем, что этот вектор ортогонален ${\displaystyle b}$: ${\displaystyle \langle a\perp b,b\rangle =\langle a-a\parallel b,b\rangle }$ ${\displaystyle =\langle a,b\rangle -\langle a\parallel b,b\rangle }$ (по Аксиоме 1 (полутора/билинейности)) ${\displaystyle =\langle a,b\rangle -\langle \left({\frac {\langle b,a\rangle }{\langle b,b\rangle }}\right)b,b\rangle }$ (раскрыли ${\displaystyle a\parallel b}$) ${\displaystyle =\langle a,b\rangle -{\overline {\left({\frac {\langle b,a\rangle }{\langle b,b\rangle }}\right)}}\langle b,b\rangle }$ (вытащили коэффициент за скобку по Аксиоме 1) ${\displaystyle =\langle a,b\rangle -\left({\frac {\overline {\langle b,a\rangle }}{\overline {\langle b,b\rangle }}}\right)\langle b,b\rangle }$ (комплексное сопряжение "сохраняет" 4 арифметических действия, и деление в том числе - оно есть автоморфизм) ${\displaystyle =\langle a,b\rangle -\left({\frac {\overline {\langle b,a\rangle }}{\langle b,b\rangle }}\right)\langle b,b\rangle }$ (по Аксиоме 3 ${\displaystyle \langle b,b\rangle }$ действительно) ${\displaystyle =\langle a,b\rangle -{\overline {\langle b,a\rangle }}}$ (сократили на ${\displaystyle \langle b,b\rangle }$) ${\displaystyle =\langle a,b\rangle -{\langle a,b\rangle }}$ (по Аксиоме 2 ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ есть эрмитова форма) ${\displaystyle =0}$ При этом по построению ${\displaystyle a\perp b}$ имеем: ${\displaystyle a=a\parallel b+a\perp b}$ Таким образом, для любого вектора ${\displaystyle b\neq 0}$ и любого вектора ${\displaystyle a}$ существует и единственно разложение ${\displaystyle a=a\parallel b+a\perp b}$, такое, что ${\displaystyle a\parallel b}$ параллелен ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle a\perp b}$ ортогонален ${\displaystyle b}$, и оба слагаемых ортогональны друг другу. В) Теперь докажем неравенство Коши-Буняковского При ${\displaystyle b=0}$ неравенство переходит в равенство (с обеих сторон нуль), и, поскольку оно нестрогое, оно верно. При ${\displaystyle b\neq 0}$ можно разложить вектор ${\displaystyle a}$ на параллельную и ортогональную проекцию на ${\displaystyle b}$ в виде ${\displaystyle a=a\parallel b+a\perp b}$ Далее рассмотрим выражение ${\displaystyle \langle a,a\rangle \langle b,b\rangle }$: ${\displaystyle \langle a,a\rangle \langle b,b\rangle =\langle a\parallel b+a\perp b,a\parallel b+a\perp b\rangle \langle b,b\rangle }$ ${\displaystyle =(\langle a\parallel b,a\parallel b\rangle +\langle a\parallel b,a\perp b\rangle +\langle a\perp b,a\parallel b\rangle +\langle a\perp b,a\perp b\rangle )\langle b,b\rangle }$ (по Аксиоме 1 (полутора/билинейности)) ${\displaystyle =(\langle a\parallel b,a\parallel b\rangle +\langle a\perp b,a\perp b\rangle )\langle b,b\rangle }$ (удалили слагаемые, равные нулю из-за ортогональности двух проекций) ${\displaystyle =(\langle \left({\frac {\langle b,a\rangle }{\langle b,b\rangle }}\right)b,\left({\frac {\langle b,a\rangle }{\langle b,b\rangle }}\right)b\rangle +\langle a\perp b,a\perp b\rangle )\langle b,b\rangle }$ (раскрыли ${\displaystyle a\parallel b}$) ${\displaystyle =({\overline {\left({\frac {\langle b,a\rangle }{\langle b,b\rangle }}\right)}}\left({\frac {\langle b,a\rangle }{\langle b,b\rangle }}\right)\langle b,b\rangle +\langle a\perp b,a\perp b\rangle )\langle b,b\rangle }$ (вытащили коэффициенты за скобку по Аксиоме 1) ${\displaystyle ={\overline {\left({\frac {\langle b,a\rangle }{\langle b,b\rangle }}\right)}}\left({\frac {\langle b,a\rangle }{\langle b,b\rangle }}\right)\langle b,b\rangle \langle b,b\rangle +\langle a\perp b,a\perp b\rangle \langle b,b\rangle }$ (раскрыли скобки) ${\displaystyle =\left({\frac {\overline {\langle b,a\rangle }}{\overline {\langle b,b\rangle }}}\right)\left({\frac {\langle b,a\rangle }{\langle b,b\rangle }}\right)\langle b,b\rangle \langle b,b\rangle +\langle a\perp b,a\perp b\rangle \langle b,b\rangle }$ (комплексное сопряжение "сохраняет" 4 арифметических действия, и деление в том числе - оно есть автоморфизм) ${\displaystyle =\left({\frac {{\overline {\langle b,a\rangle }}{\langle b,a\rangle }}{\langle b,b\rangle \langle b,b\rangle }}\right)\langle b,b\rangle \langle b,b\rangle +\langle a\perp b,a\perp b\rangle \langle b,b\rangle }$ (по Аксиоме 3 ${\displaystyle \langle b,b\rangle }$ действительно) ${\displaystyle ={\overline {\langle b,a\rangle }}{\langle b,a\rangle }+\langle a\perp b,a\perp b\rangle \langle b,b\rangle }$ (сократили на ${\displaystyle \langle b,b\rangle \langle b,b\rangle }$) ${\displaystyle ={\langle a,b\rangle }{\overline {\langle a,b\rangle }}+\langle a\perp b,a\perp b\rangle \langle b,b\rangle }$ (по Аксиоме 2 ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ есть эрмитова форма) ${\displaystyle ={|\langle a,b\rangle |}^{2}+\langle a\perp b,a\perp b\rangle \langle b,b\rangle }$ (используем тот факт, что ${\displaystyle z{\overline {z}}=|z|^{2}}$ для любого ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$) Итого получаем: ${\displaystyle {|\langle a,b\rangle |}^{2}+\langle a\perp b,a\perp b\rangle \langle b,b\rangle =\langle a,a\rangle \langle b,b\rangle }$ При ${\displaystyle a\perp b=0}$ второе слагаемое слева есть нуль. При ${\displaystyle a\perp b\neq 0}$ второе слагаемое слева есть произведение двух положительных (по Аксиоме 3) действительных чисел, и само действительно и положительно. А потому: ${\displaystyle {|\langle a,b\rangle |}^{2}\leqslant \langle a,a\rangle \langle b,b\rangle }$ Извлекаем корень, пользуясь тем, что с обеих сторон неотрицательные числа (справа - по Аксиоме 3), а также монотонным ростом квадрата и корня: ${\displaystyle {\sqrt {{|\langle a,b\rangle |}^{2}}}\leqslant {\sqrt {\langle a,a\rangle \langle b,b\rangle }}}$ Слева используем то, что ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=|x|}$, а справа - то, что ${\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$ ${\displaystyle |(|\langle a,b\rangle |)|\leqslant {\sqrt {\langle a,a\rangle }}{\sqrt {\langle b,b\rangle }}}$ Очевидно, что ${\displaystyle |(|x|)|=|x|}$: ${\displaystyle |\langle a,b\rangle |\leqslant {\sqrt {\langle a,a\rangle }}{\sqrt {\langle b,b\rangle }}}$ Подставляем определение нормы ${\displaystyle \|v\|={\sqrt {\langle v,v\rangle }}}$: ${\displaystyle |\langle a,b\rangle |\leqslant \|a\|\|b\|}$ Неравенство доказано, причем для комплексного случая. Пригодность данного доказательства для бесконечномерной линейной алгебры очевидна потому, что в доказательстве нигде не использовались разложения векторов по конечному базису. Оно основано только на аксиомах (определяющих свойствах) скалярного произведения. Комбинаторный (через перестановочное неравенство) Случай с вектором из единиц Пусть ${\displaystyle y_{1}=\dots =y_{n}=1}$. Раскрывая квадрат и делая замену ${\displaystyle t=i-j}$, квадрат суммы можно разбить на блоки следующим образом: ${\displaystyle {\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}}\right)}^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{i}x_{j}}=\sum \limits _{t=0}^{n-1}{\left({\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{j}x_{j+t}}}\right)}\ ,}$ где обозначения ${\displaystyle x_{n+1},x_{n+2},\dots }$ соответствуют ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$. Из перестановочного неравенства для двух копий последовательности ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ и перестановок ${\displaystyle \sigma _{t}(j):=((t+j-1)\mod {n})+1,\ \ \ t=0,\dots ,n-1}$ следует, что каждая из внутренних сумм не превышает ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}}$. Общий случай Если все ${\displaystyle y_{i}}$ — целые, то, раскрывая произведения ${\displaystyle x_{i}y_{i}=\underbrace {x_{i}+\dots +x_{i}} _{y_{i}}}$ и применяя уже доказанный частный случай для получившихся ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}$ слагаемых, получим ${\displaystyle \left(\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}\right)^{2}=\left(\sum \limits _{i=1}^{n}{\underbrace {x_{i}+\dots +x_{i}} _{y_{i}}}\right)^{2}\leq \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}\right)\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\underbrace {x_{i}^{2}+\dots +x_{i}^{2}} _{y_{i}}}}\right)=\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}\right)\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}y_{i}}}\right)\ ,}$ Делением обоих частей на целые числа можно получить то же неравенство для рациональных ${\displaystyle y_{i}}$, а из непрерывности сложения и умножения следует и обобщение для произвольных вещественных ${\displaystyle y_{i}}$. Это утверждение в точности соответствует неравенству Коши-Буняковского для последовательностей ${\displaystyle {x'}_{i}:=x_{i}{\sqrt {y_{i}}}}$ ${\displaystyle {y'}_{i}:={\sqrt {y_{i}}}}$. Поэтому неравенство для произвольных ${\displaystyle ({x'}_{i})_{i=1}^{n}}$, ${\displaystyle ({y'}_{i})_{i=1}^{n}}$ следует из возможности обратной замены ${\displaystyle x_{i}:={\frac {{x'}_{i}}{{y'}_{i}}}}$ ${\displaystyle y_{i}:={y'}_{i}^{2}}$. Вероятностный (через суммирование квадратов) Идея (на примере дисперсии) Самая известная реализация этого метода — рассмотрение дисперсии случайной величины. Очевидно, что если величина принимает неотрицательные значения, то её математическое ожидание также будет неотрицательно, поэтому ${\displaystyle \mathbb {E} \left[{({X-\mathbb {E} [X]})^{2}}\right]\geq 0}$ для любой случайной величины ${\displaystyle X}$. Благодаря линейности математического ожидания из этого следует, что ${\displaystyle 0\leq \mathbb {E} \left[{(X-\mathbb {E} [X])^{2}}\right]=\mathbb {E} \left[{X^{2}-2X\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}}\right]=\mathbb {E} [X^{2}]-2\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}}$ Пусть все ${\displaystyle y_{i}>0}$ и ${\displaystyle B:=\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}$. Для случайной величины ${\displaystyle X}$, которая принимает значение ${\displaystyle x_{i}}$ с вероятностью ${\displaystyle {\frac {y_{i}}{B}}}$, это неравенство означает, что ${\displaystyle \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}{\frac {y_{i}}{B}}}}\right)^{2}=\mathbb {E} [X]^{2}\leq \mathbb {E} [X^{2}]=\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}{\frac {y_{i}}{B}}}\ ,}$ то есть ${\displaystyle \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}}\right)\leq B\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}y_{i}}=\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}\right)\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}y_{i}}}\right)\ .}$ Отсюда неравенство Коши-Буняковского можно получить той же заменой переменных, что и в случае с применением перестановочного неравенства. Интерпретация и альтернативные формы После замены переменных математическое ожидание описанной выше величины будет иметь вид ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum \limits _{i=1}^{n}{{\frac {x_{i}}{y_{i}}}\cdot {\frac {y_{i}^{2}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}\ .}$ Поэтому вероятностное доказательство, в сущности рассматривает сумму ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{\left({{\frac {x_{i}}{y_{i}}}-\sum \limits _{j=1}^{n}{\left({{\frac {x_{j}}{y_{j}}}\cdot {\frac {y_{j}^{2}}{\sum \limits _{k=1}^{n}{y_{k}^{2}}}}}\right)}}\right)^{2}{\frac {y_{i}^{2}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}\ .}$ Из очевидной (ввиду возведения скобки в квадрат) неотрицательности этой суммы выводится соотношение между слагаемыми, получающимися при раскрытии скобки — двое из трёх таких слагаемых сокращаются в одно (различаются лишь на константу) за счёт структуры формулы. Изменяя нормировку (деление на суммы) с помощью внесения множителей под скобки и домножения константы, легко увидеть, что такой подход аналогичен использованию более наглядной суммы ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{{\left({{\frac {x_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{j}y_{j}}}}-{\frac {y_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}\right)}^{2}}\ .}$ Неравенства с такими суммами, записанные без привязки к вероятностным определениям, остаются корректным и без условия ${\displaystyle y_{i}>0}$ из предыдущего раздела. В частности, для произвольного гильбертова пространства при ${\displaystyle \langle {x,y}\rangle \in \mathbb {R} }$ можно рассмотреть неравенство ${\displaystyle 0\leq \left\vert \left\vert {y-{\frac {\langle {x,y}\rangle }{||x||^{2}}}x}\right\vert \right\vert ^{2}\leq \left\langle {y-{\frac {\langle {x,y}\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}x,y-{\frac {\langle {x,y}\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}x}\right\rangle =\langle {y,y}\rangle -2{\frac {\langle {x,y}\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}\langle {x,y}\rangle +{\frac {\langle {x,y}\rangle ^{2}}{\langle {x,x}\rangle ^{2}}}\langle {x,x}\rangle =\langle {y,y}\rangle -{\frac {\langle {x,y}\rangle ^{2}}{\langle {x,x}\rangle }}\ ,}$ а при ${\displaystyle \langle {x,y}\rangle \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} }$ достаточно домножить ${\displaystyle x}$ на комплексное число вида ${\displaystyle e^{\varphi i},\varphi \in \mathbb {R} }$ чтобы свести всё к первому случаю. Аналогичным способом можно использовать другую, симметричную, сумму, где после раскрытия скобки сокращаются два крайних слагаемых (полученные возведением в квадрат), а не крайнее с центральным: ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{{\left({{\frac {x_{i}}{\sqrt {\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{j}^{2}}}}}-{\frac {y_{i}}{\sqrt {\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}}\right)}^{2}}\ .}$ или, что то же самое, ${\displaystyle \left\vert \left\vert {{\frac {x}{||x||}}-{\frac {y}{||y||}}}\right\vert \right\vert ^{2}\ .}$ Кроме вероятностной интерпретации, использование таких сумм может быть описано через оценку дискриминанта квадратного уравнения или неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим.[4] Прямой (через группировку множителей) Ещё одна (впрочем, нуждающаяся в инструментарии двух предыдущих) идея состоит в представлении неравенства в виде ${\displaystyle \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}}\right)\left({\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{j}y_{j}}}\right)=\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{(x_{i}y_{j})(x_{j}y_{i})}\leq \sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{(x_{i}y_{j})^{2}}=\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}}\right)\left({\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}\right)\ .}$ Такую форму можно доказать двумя способами: сравнив все слагаемые за один шаг, применив перестановочное неравенство для двух копий набора ${\displaystyle (x_{i}y_{j})_{(i,j)\in [1;n]^{2}}}$ и перестановки ${\displaystyle \sigma (i,j):=(j,i)}$[5]; сравнивая каждое слагаемое отдельно, применяя неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим для двух переменных ${\displaystyle a=x_{i}y_{j},\ b=x_{j}y_{i}}$, что по сути соответствует рассмотрению суммы квадратов вида ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i})^{2}}}$ или нормы соответствующего вектора в тензорном произведении произвольных гильбертовых пространств.[6] Применение случая n=2 к суммам Неравенство можно получить с помощью индукции, шагом которой для перехода от ${\displaystyle n}$ к ${\displaystyle (n+1)}$-му слагаемому будет применение того же неравенства для двух слагаемых. Предположение индукции для последовательностей ${\displaystyle (x_{i})_{i=1}^{n}}$, ${\displaystyle (y_{i})_{i=1}^{n}}$ даёт неравенство ${\displaystyle \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\color {red}{x_{i}}\color {blue}{y_{i}}}}\right)+x_{n+1}y_{n+1}\leq \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\color {red}{x_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\color {blue}{y_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}+x_{n+1}y_{n+1}}$ А из случая ${\displaystyle n=2}$ для последовательностей ${\displaystyle \left({\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}},x_{n+1}}\right)}$, ${\displaystyle \left({\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}},y_{n+1}}\right)}$ легко видеть, что ${\displaystyle {\color {red}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}}{\color {blue}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}}+{\color {red}{x_{n+1}}\color {blue}{y_{n+1}}}\leq \left({{\color {red}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\right)^{{\frac {1}{2}}\color {black}{\cdot 2}}}}+{\color {red}{x_{n+1}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}\left({{\color {blue}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\right)^{{\frac {1}{2}}\color {black}{\cdot 2}}}}+{\color {blue}{y_{n+1}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}=\left({\sum \limits _{i=1}^{n+1}{x_{i}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}\left({\sum \limits _{i=1}^{n+1}{y_{i}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$ Таким образом неравенство доказывается для произвольного ${\displaystyle n}$ индукцией с базой ${\displaystyle n=2}$. Базу можно доказать любым из остальных способов (например, через неравенство ${\displaystyle (x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}\geq 0}$).[7] Также для ${\displaystyle n=2}$ существуют наглядные геометрические доказательства.[8][9] Литература Hui-Hua Wu, Shanhe Wu. Various proofs of the Cauchy-Schwarz inequality (англ.) // Octogon mathematical magazine. — 2009. — Vol. 17, iss. 1. — P. 221–229. Примечания См. доказательство 11 в Wu, 2009 Bounjakowsky W. «Sur quelques ingalits», Mmoires de l’Acadmie des sciences de St-Ptersbourg. 7 srie, 1859, t. 1, № 9. Wu, 2009. См. доказательства 2 (при ${\displaystyle x={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{a_{i}b_{i}}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{a_{i}^{2}}}}}$), 5 в Wu, 2009 для первой суммы и доказательства 3, 4, 8 там же для второй. См. доказательство 7 в Wu, 2009. См. доказательства 1, 6 (для случая ${\displaystyle n=2}$) и 12 (после раскрытия индукции, то есть суммирования различных ${\displaystyle S_{n+1}-S_{n}}$) в Wu, 2009. См. доказательство 6 в Wu, 2009. Обзор доказательств неравенства Коши-Буняковского Архивная копия от 25 августа 2021 на Wayback Machine, (см. геометрические доказательства для ${\displaystyle n=2}$ на с. 15-18) Интерактивная демонстрация геометрического доказательства  (неопр.). Дата обращения: 25 августа 2021. Архивировано 25 августа 2021 года.