Меню Главная Случайная статья Настройки Окружность на сфере Материал из https://ru.wikipedia.org Окружность на сфере (круг на шаре[1]) — сечение сферы плоскостью[2][1][3][4][5]. Различают следующие два вида окружностей на сфере, два вида сечений сферы плоскостью[6]. Большая окружность (большой круг), или геодезическая линия[7], — окружность на сфере, плоскость сечения которой есть диаметральная плоскость, то есть проходит через центр сферы[6]. Сферическое расстояние между двумя точками сферы — длина дуги большой окружности, проходящей через эти две токи и не превосходящей полуокружности[8]. Малая окружность (малый круг[1]) — окружность на сфере, плоскость сечения которой отлична от диаметральной плоскости, то есть не проходит через центр сферы[9], другими словами, это окружность на сфере, отличная от большой окружности[1]. Сферический центр большой окружности на сфере — точка пересечения сферы с осью окружности, то есть диаметром сферы, перпендикулярным к плоскости сечения[1]. Любая большая сферическая окружность имеет два диаметрально противоположных сферических центра[1]. Полюс большой окружности — её сферический центр, при этом сама большая окружность называется полярой полюса[1][10]. Содержание 1 Определения 2 Свойства больших окружностей на сфере 2.1 Две точки на сфере и большие окружности 2.2 Разбиение сферы большими окружностями 2.3 Большая окружность как поляра 3 Свойства малых окружностей на сфере 3.1 Сферический круг 3.2 Сферический центр и сферический радиус 3.3 База и параметр 3.4 Длина окружности и площадь сферического круга 4 Примечания 5 Источники Определения Окружность на сфере (круг на шаре[1]) — сечение сферы плоскостью[2][1][3][4][5]. Покажем, что действительно при сечении сферы плоскостью получается окружность. Опустим из центра сферы перпендикуляр на секущую плоскость, затем повернём трёхмерное пространство на произвольный угол вокруг этого перпендикуляра. При таком повороте сфера и плоскость перейдут сами в себя, а с ними и кривая их пересечения. Следовательно, точка пересечения перпендикуляра с плоскостью находится от любой точки кривой пересечения на фиксированном расстоянии, то есть эта кривая — окружность с центром в точке пересечения перпендикуляра с плоскостью[11]. Различают следующие два вида окружностей на сфере, два вида сечений сферы плоскостью[6]. Диаметральная плоскость сферы — плоскость, проходящая через центр сферы. Большая окружность (большой круг), или геодезическая линия[7], — окружность на сфере, плоскость сечения которой есть диаметральная плоскость[6]. Сферическое расстояние между двумя точками сферы — длина дуги большой окружности, проходящей через эти две токи и не превосходящей полуокружности, поскольку эта дуга есть кратчайшая линия, соединяющая две точки на сфере[8]. Малая окружность (малый круг[1]) — окружность на сфере, плоскость сечения которой отлична от диаметральной плоскости, то есть не проходит через центр сферы[9], другими словами, это окружность на сфере, отличная от большой окружности[1]. Найдём формулу для радиуса окружности на сфере. Поскольку этот радиус ${\displaystyle \rho }$ есть катет прямоугольного треугольника (см. рисунок справа с окружностью на сфере и с прямоугольным треугольником) с гипотенузой, равной радиусу сферы ${\displaystyle r}$, и вторым катетом, равным длине перпендикуляра ${\displaystyle h}$, опущенного из центра сферы на плоскость сечения, то по теореме Пифагора получаем[6]: ${\displaystyle \rho ={\sqrt {r^{2}-h^{2}}}}$. Эта формула показывает, что[6]: большая окружность имеет максимальный радиус ${\displaystyle \rho =r}$, поскольку ${\displaystyle h=0}$; малая окружность имеет меньший радиус ${\displaystyle \rho <r}$, поскольку ${\displaystyle h>0}$. Свойства больших окружностей на сфере Две точки на сфере и большие окружности Диаметрально противоположные точки на сфере — две точки на сфере, соединённые её диаметром. Предложение 1. Через две любые точки на сфере, которые не диаметрально противоположны, проходит единственная большая окружность (см. рисунок справа с такой большой окружностью)[6]. Доказательство. Поскольку через три любые точки трёхмерного пространства, которые не лежат на одной прямой, проходит единственная плоскость, то через две любые точки на сфере, которые не диаметрально противоположны, и через центр сферы проходит единственная диаметральная плоскость[6]. Плоская аналогия. На плоскости через две любые точки проходит единственная прямая[6]. Предложение 2. Через две любые диаметрально противоположные точки на сфере проходит бесконечное множество больших окружностей (см. рисунок слева с двумя парами диаметрально противоположных точек)[6]. Предложение 3. Две любые большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках (см. рисунок справа с двумя большими окружностями)[6]. Доказательство. Две любые диаметральные плоскости сферы всегда пересекаются по диаметру сферы[6]. Отсутствие плоской аналогии. На плоскости две любые прямые пересекаются не более чем в одной точке[6]. Разбиение сферы большими окружностями Предложение 1. Большая окружность разбивает сферу на две части — на два сферических сегмента, которые суть полусферы (см. рисунок справа с двумя полусферами)[6]. Доказательство. Плоскость делит трёхмерное пространство на два полупространства[6]. Плоская аналогия. На плоскости прямая разбивает плоскость на две полуплоскости[12]. Предложение 2. Две большие окружности разбивает сферу на четыре части — на четыре двуугольника (см. рисунок слева с четырьмя частями сферы)[6]. Доказательство. Две пересекающиеся плоскости делят трёхмерное пространство на четыре части[6]. Плоская аналогия. На плоскости две пересекающиеся прямые разбивают плоскость на четыре части[12]. Предложение 3. Три большие окружности, не пересекающиеся в одной точке, разбивает сферу на восемь частей — на восемь сферических треугольников (см. рисунок справа с восемью частями сферы)[6]. Доказательство. Три пересекающиеся в одной точке плоскости делят трёхмерное пространство на восемь частей[6]. Эти восемь сферических треугольника разбиваются на четыре пары диаметрально противоположных[12]. Отсутствие плоской аналогии. На плоскости три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие сразу все три через одну точку, разбивают плоскость на семь частей (см. рисунок слева с тремя прямыми)[12]. Большая окружность как поляра Сферический центр большой окружности на сфере — точка пересечения сферы с осью окружности, то есть диаметром сферы, перпендикулярным к плоскости сечения (см. рисунок справа с двумя сферическими центрами)[1]. Любая большая сферическая окружность имеет два диаметрально противоположных сферических центра[1]. Полюс большой окружности — её сферический центр, при этом сама большая окружность называется полярой полюса[1][10]. Каждая пара диаметрально противоположных точек на сфере имеет единственную поляру, для которой эти точки суть полюсы[13]. Пример. Полюсы экватора Земли суть оба её географические полюсы — Северный и Южный[13]. Полюс отстоит от поляры на четверть окружности, то есть на ${\displaystyle 90^{\circ }}$ (см. рисунок справа с тремя парами полюсов)[14]. Полярно сопряжённые точки на сфере — точка на большой окружности и любой из двух её полюсов, другими словами, на сфере две точки полярно сопряжены, если диаметры сферы, проходящие через них, перпендикулярны[13]. Свойства малых окружностей на сфере Сферический круг Предложение 1. Через три любые точки на сфере, которые не лежат вместе на большой окружности, проходит единственная малая окружность (см. рисунок справа с такой малой окружностью)[15]. Доказательство. Через три любые точки на сфере проходит единственная плоскость[15]. Предложение 2. Малая окружность разбивает сферу на две части — на два сферических сегмента(см. рисунок справа с малой окружностью)[15]. Доказательство. Плоскость делит трёхмерное пространство на два полупространства[15]. Сферический круг — меньший из двух сферических сегментов, нв которые разбивает сферу его граница — малая окружность, то есть тот сферический сегмент, который не выходит за пределы полусферы[15]. Сферический центр и сферический радиус Предложение 1. Окружность на сфере есть геометрическое место точек этой сферы, сферическое расстояние которых одинаково как от некоторой фиксированной точки сферы, так и от её диаметрально противоположной (см. рисунок справа с малой окружностью)[16]. Доказательство. Опустим из центра сферы перпендикуляр на секущую плоскость, затем повернём трёхмерное пространство на произвольный угол вокруг этого перпендикуляра. При таком повороте сфера и плоскость перейдут сами в себя, а с ними и окружность — кривая их пересечения. Следовательно, сферическое расстояние между точкой пересечения перпендикуляра со сферой и любой точки окружности фиксировано. Обратно, геометрическое место точек сферы, равноудалённых от её данной точки, есть окружность, то есть переходит само в себя при повороте вокруг диаметра сферы, конец которого — эта точка. Этим же свойством обладает и диаметрально противоположная точка[15]. Сферический центр малой окружности — точка на сфере, для которой фиксированное сферическое расстояние от неё до точек данной малой окружности меньше ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}r}$, где ${\displaystyle r}$ — радиус сферы (см. рисунок справа со сферическим центром ${\displaystyle A}$)[17]. Сферический радиус малой окружности — сферическое расстояние от точек малой окружности до её сферического центра (см. рисунок справа со сферическим радиусом ${\displaystyle R}$)[17]. Предложение 2. Сферический центр малой окружности лежит на сферическом круге, ограниченном этой малой окружностью[17]. Для большой окружности два её сферических центра суть её полюсы, а сферическим радиусом можно считать число ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}r}$, где ${\displaystyle r}$ — радиус сферы[17]. Пример. Теоретически при наблюдении в открытом море возникают два малых круга: с учётом рефракции — видимый горизонт наблюдателя, сферический радиус которого называется дальностью видимого горизонта; без учёта рефракции — теоретический видимый горизонт, сферический радиус которого называется теоретической дальностью видимого горизонта, поэтому просто дальность всегда больше теоретической дальности. На практике при расчётах теоретическую дальность заменяют приближённой — расстоянием от глаза наблюдателя по касательной к теоретической линии горизонта. Сферический радиус — дальность видимого горизонта — измеряется в морских милях, а не в градусах или радианах, как в математике[18]. База и параметр Предложение 1. Малая окружность сферы — геометрическое место точек сферы, которые: равноудалены от некоторой фиксированной большой окружности; находятся по одну сторону от этой большой окружности. И наоборот (см. рисунок справа с малой и большой окружностями)[17]. Доказательство. Пусть дана малая окружность на сфере. Рассмотрим поляру её сферического центра — большую окружность. Плоскость этой большой окружности перпендикулярна плоскостям больших окружностей, которые проходят через сферический центр малой окружности. Поэтому сферическое расстояние от точек данной малой окружности до этой большой окружности одинаково и равно дополнению сферического радиуса малой окружности до ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}r}$, где ${\displaystyle r}$ — радиус сферы[17]. Обратно. Геометрическое место точек сферы, равноудалённых от данной фиксированной большой окружности и находящихся от неё по одну сторону, есть геометрическое место точек, равноудалённых от одного из её полюсов, то есть малая окружность. Предложение доказано[17]. База малой окружности — большая окружность, плоскость которой параллельна плоскости данной малой окружности (см. рисунок справа с красной базой)[17]. Параметр малой окружности — сферическое расстояние от точек данной малой окружности до её базы (см. рисунок справа с параметром ${\displaystyle P}$)[17]. Предложение 2. Для малой окружности сумма сферического радиуса ${\displaystyle R}$ и параметра ${\displaystyle P}$ равна ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}r}$[17]. Длина окружности и площадь сферического круга Предложение 1. Пусть дана окружность сферы радиуса ${\displaystyle R}$ и параметра ${\displaystyle P={\frac {\pi }{2}}r-R}$. Тогда её длина ${\displaystyle C}$ равна следующим выражениям[19]: ${\displaystyle C=2\pi r\sin {\frac {R}{r}}=2\pi r\cos {\frac {P}{r}}}$. Доказательство. Рассмотрим малую окружность с плоским центром ${\displaystyle Q}$, плоским радиусом ${\displaystyle \rho }$ и её произвольной точкой ${\displaystyle M}$ (см. рисунок справа с такой малой окружностью). Если ${\displaystyle O}$ — центр сферы радиуса ${\displaystyle r}$, на которой лежит эта малая окружность, то ${\displaystyle OM=r}$, ${\displaystyle QM=\rho }$ и ${\displaystyle \angle MOQ={\frac {R}{r}}}$. Из прямоугольного треугольника ${\displaystyle OQM}$ находим, что радиус малой окружности ${\displaystyle \rho =r\sin {\frac {R}{r}}}$, то есть длина окружности сферического радиуса ${\displaystyle R}$ равна ${\displaystyle C=2\pi r\sin {\frac {R}{r}}}$. Поскольку ${\displaystyle \sin {\frac {R}{r}}=\cos {\frac {P}{r}}}$, то длину малой окружности можно выразить также через её параметр ${\displaystyle P}$: ${\displaystyle C=2\pi r\cos {\frac {P}{r}}}$[19]. Предложение 2. Площадь ${\displaystyle S}$ сферического круга радиуса ${\displaystyle R}$ на сфере радиуса ${\displaystyle r}$ равна следующему выражению[20]: ${\displaystyle S=4\pi r^{2}\sin ^{2}{\frac {R}{2r}}}$. Доказательство. Сферический круг, ограниченный малой окружностью сферического радиуса ${\displaystyle R}$, — это сферический сегмент с высотой (см. рисунок справа со сферическим кругом) ${\displaystyle H=r\left(1-\cos {\frac {R}{r}}\right)=2r\sin ^{2}{\frac {R}{2r}}}$, но площадь сферического сегмента высоты ${\displaystyle H}$ равна ${\displaystyle 2\pi rH}$, поэтому площадь сферического круга радиуса ${\displaystyle R}$ равна следующему выражению[20]: ${\displaystyle S=4\pi r^{2}\sin ^{2}{\frac {R}{2r}}}$. Примечания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия, 1948, § 1. Круги на шаре, с. 7. 1 2 Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 1.2. Точки, большие окружности, малые окружности, с. 519. 1 2 Битюцков В. И. Сферическая геометрия, 1985, стб. 290. 1 2 Сферическая геометрия, 1976, с. 116. 1 2 Битюцков В. И. Сферическая геометрия, 1988. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 1.2. Точки, большие окружности, малые окружности, с. 520. 1 2 Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 2.4. Большая окружность как кратчайшая, с. 536; 3.2. Геодезическая кривизна малой окружности, с. 541. 1 2 Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 2.3. Равенство сферических треугольников, с. 536. 1 2 Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 1.2. Точки, большие окружности, малые окружности, с. 520; 3.1. Окружности и углы на сфере, с. 539. 1 2 Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 1.2. Точки, большие окружности, малые окружности, с. 521—522. Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 1.2. Точки, большие окружности, малые окружности, с. 519—520. 1 2 3 4 Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 1.2. Точки, большие окружности, малые окружности, с. 521. 1 2 3 Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 1.2. Точки, большие окружности, малые окружности, с. 522. Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия, 1948, § 1. Круги на шаре, с. 8. 1 2 3 4 5 6 Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 3.1. Окружности и углы на сфере, с. 539. Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 3.1. Окружности и углы на сфере, с. 539—540. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 3.1. Окружности и углы на сфере, с. 540. Файн Г. И. Навигация, лоция и мореходная астрономия, 1977, § 6. Видимый горизонт наблюдателя и его дальность, с. 11—12. 1 2 Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 3.1. Окружности и углы на сфере, с. 540—541. 1 2 Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 3.1. Окружности и углы на сфере, с. 541. Источники Битюцков В. И. Сферическая геометрия // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 290—291. Битюцков В. И. Сферическая геометрия // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 571. Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 518—557. Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. 2-е изд. М.—Л.: ОГИЗ. Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. 154 с., ил. Сферическая геометрия // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1976. Т. 25. Струнино — Тихорецк. 1976. 600 с. с илл., 27 л. илл., 3 л. карт. С. 116—117. Файн Г. И. Навигация, лоция и мореходная астрономия. Учебник для учащихся средних проф.-техн. училищ. Специальность — судоводитель морских маломерных судов. М.: «Транспорт», 1977. 288 с., ил. и табл.