Меню Главная Случайная статья Настройки Октаэдральное число Материал из https://ru.wikipedia.org Октаэдральное число — разновидность многогранных фигурных чисел. Поскольку октаэдр можно рассматривать как две квадратные пирамиды, склеенные своими основаниями (см. рисунок), октаэдральное число определяется как сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел[1]: ${\displaystyle O_{n}=\Pi _{n-1}^{(4)}+\Pi _{n}^{(4)}}$ Общая формула[2] для ${\displaystyle n}$-го по порядку октаэдрального числа ${\displaystyle O_{n}}$: ${\displaystyle O_{n}={n(2n^{2}+1) \over 3}}$ Первые из октаэдральных чисел (последовательность A005900 в OEIS): ${\displaystyle 1,6,19,44,85,146,231,344,489,670\dots }$ Рекуррентная формула[1]: ${\displaystyle O_{n+1}=O_{n}+(n+1)^{2}+n;\quad O(1)=1}$ Производящая функция последовательности[1]: ${\displaystyle {\frac {x(x+1)^{2}}{(x-1)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }O_{n}x^{n}=x+6x^{2}+19x^{3}+\cdots ;\quad |x|<1}$ Содержание 1 Связь с фигурными числами других типов 2 Гипотеза Поллока 3 Применение 4 Примечания 5 Литература 6 Ссылки Связь с фигурными числами других типов Данное выше определение связало октаэдральные числа с квадратными пирамидальными. Связь с тетраэдральными числами ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}}$: ${\displaystyle O_{n}+4\mathbb {T} _{n-1}=\mathbb {T} _{2n-1}}$ Геометрически эта формула означает, что если наклеить по тетраэдру на четыре не смежные грани октаэдра, то получится тетраэдр удвоенного размера. Ещё один вид связи[1]: ${\displaystyle O_{n}=\mathbb {T} _{n}+2\mathbb {T} _{n-1}+\mathbb {T} _{n-2}}$ Эта формула вытекает из определения и того факта, что квадратное пирамидальное число есть сумма двух тетраэдральных. Другое её истолкование: октаэдр может быть разделён на четыре тетраэдра, каждый из которых имеет две изначально смежные грани. Связь с тетраэдральными и кубическими числами: ${\displaystyle O_{n}+2\mathbb {T} _{n-1}=n^{3}}$ Разность двух последовательных октаэдральных чисел есть центрированное квадратное число[1]: ${\displaystyle O_{n+1}-O_{n}=C_{n+1}^{4}=(n+1)^{2}+n^{2}}$ Гипотеза Поллока В 1850 году британский математик-любитель, член Королевского общества сэр Джонатан Фредерик Поллок. выдвинул предположение[3], что каждое натуральное число является суммой не более семи октаэдральных чисел. Гипотеза Поллока до сих пор не доказана и не опровергнута. Компьютерная проверка показала, что, скорее всего: 309 — самое большое число, которое требует ровно семь слагаемых; 11 579 — последнее число, требующее шесть слагаемых; 65 285 683 — последнее число, требующее пять слагаемых. Если гипотеза Поллока верна, то доказано, что должны существовать сколь угодно большие числа, нуждающиеся в четырёх слагаемых[4][5]. Применение В химии октаэдрические числа могут использоваться, чтобы описать числа атомов в октаэдрических кластерах (см. «магические кластеры»)[6][7]. Примечания 1 2 3 4 5 Деза Е., Деза М., 2016, с. 82—85. Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Springer-Verlag, p. 50, ISBN 978-0-387-97993-9. Frederick Pollock. On the extension of the principle of Fermat's theorem on the polygonal numbers to the higher order of series whose ultimate differences are constant. With a new theorem proposed, applicable to all the orders (англ.) // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London : journal. — 1850. — Vol. 5. — P. 922—924. — . Деза Е., Деза М., 2016, с. 239. Литература Ссылки Weisstein, Eric W. Octahedral Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.