Меню Главная Случайная статья Настройки Пирамида (геометрия) Материал из https://ru.wikipedia.org Пирамида (от др.-греч. , род. п. ) — многогранник, одна из граней которого (называемая основанием) — произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — треугольники, имеющие общую вершину[1]. По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д. Если в основании лежит ${\displaystyle n}$-угольник, пирамида называется ${\displaystyle n}$-угольной. Она имеет ${\displaystyle n}$ боковых граней. Пирамида является частным случаем конуса[2]. Содержание 1 История развития пирамиды в геометрии 2 Элементы пирамиды 3 Развёртка пирамиды 4 Свойства 5 Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами 5.1 Сфера 5.2 Конус 5.3 Цилиндр 6 Формулы, связанные с пирамидой 7 Особые случаи пирамиды 7.1 Правильная пирамида 7.2 Прямоугольная пирамида 7.3 Тетраэдр 8 См. также 9 Примечания 10 Литература 11 Ссылки История развития пирамиды в геометрии Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Объём пирамиды был известен древним египтянам. Первым греческим математиком, кто установил, чему равен объём пирамиды, был Демокрит [3], а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке (книга XI, определение 12[4]). Элементы пирамиды вершина пирамиды — общая точка боковых граней, не лежащая в плоскости основания; основание — грань, которой не принадлежит вершина пирамиды; боковые грани — треугольные грани, сходящиеся в вершине; боковые рёбра — рёбра, являющиеся сторонами двух боковых граней (и, соответственно, не являющиеся сторонами основания); высота пирамиды — перпендикуляр из вершины пирамиды на её основание; апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины; диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через её вершину и диагональ основания. Развёртка пирамиды Развёрткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга). Приступая к изучению развёртки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую плёнку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путём изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещён с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развёртывающейся, а полученную плоскую фигуру — её развёрткой. Свойства Если все боковые рёбра равны, то: вокруг основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр; боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы; также верно и обратное, то есть если боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы, или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые рёбра пирамиды равны. Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то: в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр; высоты боковых граней равны; площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани. Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами Сфера около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие)[5]. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу; в пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы. Конус Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);[6] Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые рёбра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие); Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой. Цилиндр Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды. Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие). Формулы, связанные с пирамидой Объём пирамиды может быть вычислен по формуле: ${\displaystyle V={\frac {1}{3}}Sh,}$ где ${\displaystyle \ S}$ — площадь основания и ${\displaystyle \ h}$ — высота;[7] ${\displaystyle V={\frac {1}{6}}V_{p},}$ где ${\textstyle \ V_{p}}$ — объём параллелепипеда; Также объём треугольной пирамиды (тетраэдра) может быть вычислен по формуле[8]: ${\displaystyle V={\frac {1}{6}}a_{1}a_{2}d\sin \varphi ,}$ где ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ — скрещивающиеся рёбра , ${\displaystyle d}$ — расстояние между ${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{2}}$ , ${\displaystyle \varphi }$ — угол между ${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{2}}$; Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней: ${\displaystyle S_{b}=\sum _{i}^{}S_{i}}$ Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания: ${\displaystyle \ S_{p}=S_{b}+S_{o}}$ Для нахождения площади боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы: ${\displaystyle S_{b}={\frac {1}{2}}Pa={\frac {n}{2}}b^{2}\sin \alpha }$ где ${\displaystyle a}$ — апофема , ${\displaystyle \ P}$ — периметр основания, ${\displaystyle \ n}$ — число сторон основания, ${\displaystyle \ b}$ — боковое ребро, ${\displaystyle \alpha }$ — плоский угол при вершине пирамиды. Особые случаи пирамиды Правильная пирамида Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами: боковые рёбра правильной пирамиды равны; в правильной пирамиде все боковые грани — конгруэнтные равнобедренные треугольники; в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу; если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна ${\displaystyle \pi }$, а каждый из них соответственно ${\textstyle {\frac {\pi }{n}}}$, где ${\displaystyle n}$ — количество сторон многоугольника основания[9]; площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. Прямоугольная пирамида Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды. Тетраэдр Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существует большое различие между понятиями «правильная треугольная пирамида» и «правильный тетраэдр». Правильная треугольная пирамида — это пирамида с правильным треугольником в основании (грани же должны быть равнобедренными треугольниками). Правильным тетраэдром является тетраэдр, у которого все грани являются равносторонними треугольниками. См. также Усечённая пирамида Бипирамида Примечания Александров А. Д., Вернер А. Л. Геометрия. Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2003. — 271 с. — ISBN 5-09-010773-4. Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч. 1. Пособие для учителей. Под ред. Л. В. Сабинина. М., Просвещение, 1978. 320 с. С. 253. Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, §357. Готман Э. Свойства правильной пирамиды, вписанной в сферу Архивная копия от 22 января 2012 на Wayback Machine // Квант. — 1998. — № 4. Литература Ссылки Бумажные модели пирамид Архивная копия от 4 января 2010 на Wayback Machine (англ.) «Начала» Евклида.