Меню Главная Случайная статья Настройки Точка округления Материал из https://ru.wikipedia.org Точка округления (круговая точка, омбилическая точка или омбилика) точка на гладкой регулярной поверхности в евклидовом пространстве, в которой нормальные кривизны по всем направлениям равны. Название «омбилика» происходит от французского «ombilic», которое, в свою очередь, происходит от латинского «umbilicus» «пуп». Содержание 1 Свойства 2 Примеры 3 Гипотеза Каратеодори 4 Обобщение 5 Литература 6 Примечания Свойства В точке округления: главные кривизны поверхности совпадают. Первая квадратичная форма и вторая квадратичная форма поверхности пропорциональны. любое касательное направление является главным направлением. Соприкасающийся параболоид является параболоидом вращения. Индикатриса Дюпена является окружностью. Сеть линий кривизны (то есть линий, касающихся в каждой точке одного из главных направлений поверхности), имеет особенность[1]. Любая точка округления является либо эллиптической точкой поверхности (если главные кривизны не равны нулю, и следовательно, гауссова кривизна поверхности в данной точке положительная), либо так называемой плоской точкой округления (если главные кривизны равны нулю, и следовательно, гауссова кривизна и средняя кривизна поверхности в данной точке равны нулю). В первом случае в малой окрестности точки округления поверхность похожа на сферу, а во втором — на плоскость. Примеры В евклидовом пространстве с метрикой ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$: Сфера целиком состоит из эллиптических точек округления. Трёхосный эллипсоид (с попарно различными осями) имеет ровно четыре точки округления, все они эллиптические и относятся к типу «лимон». Плоскость целиком состоит из плоских точек округления. Обезьянье седло имеет изолированную плоскую точку округления в начале координат. Гипотеза Каратеодори Каратеодори высказал гипотезу, что на любой достаточно гладкой замкнутой выпуклой поверхности M в трёхмерном евклидовом пространстве существуют как минимум две точки округления. Эта гипотеза была впоследствии доказана при дополнительном предположении, что поверхность M аналитическая[2][3]. Обобщение Пусть ${\displaystyle M}$ гладкое многообразие произвольной размерности ${\displaystyle n\geq 2}$ в евклидовом пространстве большей размерности. Тогда в каждой точке ${\displaystyle x\in M}$ определены ${\displaystyle n}$ собственных значений ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ пары первой и второй квадратичных форм, заданных на касательном расслоении ${\displaystyle TM}$. Точка ${\displaystyle x\in M}$ называется омбиликой, если в ней набор ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ содержит хотя бы два совпадающих числа. Множество омбилик имеет коразмерность 2, то есть задается на ${\displaystyle M}$ двумя независимыми уравнениями.[4] Так, омбилические точки на поверхности общего положения изолированы (${\displaystyle \dim =2-2=0}$), а на трёхмерном многообразии общего положения они образуют кривую (${\displaystyle \dim =3-2=1}$). Литература Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание. Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание. Фиников С. П. Теория поверхностей, — Любое издание. Porteous I.R. Geometric Differentiation for the intelligence of curves and surfaces — Cambridge University Press, Cambridge, 1994. Struik D. J. Lectures on Classical Differential Geometry, — Addison Wesley Publ. Co., 1950. Reprinted by Dover Publ., Inc., 1988. Примечания 1 2 Ремизов А. О. Многомерная конструкция Пуанкаре и особенности поднятых полей для неявных дифференциальных уравнений, СМФН, 19 (2006), 131—170. Иванов В. В. Аналитическая гипотеза Каратеодори // Сиб. матем. журн.. — 2002. — Т. 42. — С. 314—405. — doi:10.1023/A:1014797105633. Alexandrov V. A. Zbl 1056.53003 (англ.). Дата обращения: 13 октября 2014. Архивировано 19 октября 2014 года. Арнольд В. И. Математические методы классической механики, Любое издание. (Добавление 10. Кратности собственных частот и эллипсоиды, зависящие от параметров).