Меню Главная Случайная статья Настройки Оператор Шрёдингера Материал из https://ru.wikipedia.org Оператор Шрёдингера — дифференциальный оператор вида: ${\displaystyle H=-\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2m_{j}}}\Delta _{j}+\sum _{i<j}^{n}v_{ij}(x_{i}-x_{j})+\sum _{j=1}^{n}v_{j}(x_{i})}$. Представляет собой оператор эллиптической сингулярной краевой задачи. Математическая теория операторов Шрёдингера используется в квантовой механике[1], дифференциальной геометрии (доказательство теоремы Гаусса — Бонне[2]), топологии (в теории Морса при доказательстве неравенства Морса[3]). Допускает многочисленные обобщения[4]. При некоторых условиях на потенциалы ${\displaystyle v_{ij}(x)}$ и ${\displaystyle v_{j}(x)}$ является самосопряжённым оператором со всюду плотной областью определения в пространстве квадратично интегрируемых функций ${\displaystyle \psi (x_{1},\dots ,x_{n}))}$[5][6]. Это свойство равносильно однозначной разрешимости нестационарного уравнения Шрёдингера[6]. Оно очень важно для оснований квантовой механики, поскольку лишь самосопряжённые операторы описывают квантовомеханические наблюдаемые. В квантовой механике оператор Шрёдингера представляет собой оператор энергии системы ${\displaystyle n}$ заряженных частиц в координатном представлении. При приближённом описании поведения частицы во внешнем поле или системы двух взаимодействующих частиц оператор Шредингера определён в пространстве квадратично интегрируемых функций и имеет вид: ${\displaystyle H=-\Delta +v(x)}$, где ${\displaystyle x}$ — вектор трёхмерного пространства[1]. Содержание 1 Одномерный оператор Шрёдингера 2 Достаточный признак самосопряжённости оператора Шрёдингера 3 Примечания 4 Литература Одномерный оператор Шрёдингера Одномерный оператор Шрёдингера имеет вид: ${\displaystyle H_{1}=-{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}+v(z)}$, где ${\displaystyle z}$ — вектор одномерного пространства. В случае бесконечно растущего потенциала ${\displaystyle v(z)\rightarrow \infty }$ при ${\displaystyle \left|z\right|\rightarrow \infty }$ его спектр является дискретным, однократным. В случае гармонического осциллятора — ${\displaystyle v(z)=z^{2}}$. Собственные значения ${\displaystyle \lambda _{n}=2n+1}$ и собственные функции ${\displaystyle \psi _{n}(z)=e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}H_{n}(z)}$, где ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$, ${\displaystyle H_{n}(z)}$ — полиномы Эрмита. Достаточный признак самосопряжённости оператора Шрёдингера Для оператора Шрёдингера для системы ${\displaystyle n}$ частиц, определённого на гладких финитных функциях: ${\displaystyle H=-\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2m_{j}}}\Delta _{j}+\sum _{i<j}^{n}v_{ij}(x_{i}-x_{j})+\sum _{j=1}^{n}v_{j}(x_{i})}$, достаточными условиями существенной самосопряжённости являются условия: ${\displaystyle \int _{\left|x\right|\leqslant R}v_{ij}^{2}(x)<\infty }$, ${\displaystyle \int _{\left|x\right|\leqslant R}v_{j}^{2}(x)<\infty }$, и при ${\displaystyle \left|x\right|\geqslant R}$ условия: ${\displaystyle \left|v_{ij}(x)\right|\leqslant M}$, ${\displaystyle \left|v_{j}(x)\right|\leqslant M}$. Область определения замыкания оператора Шрёдингера в этом случае совпадает с областью определения замыкания оператора ${\displaystyle -\sum _{j=1}^{n}\Delta _{j}}$[5]. Примечания 1 2 Крейн, 1972, с. 430. Цикон, 1990, с. 291. Цикон, 1990, с. 265. Крейн, 1972, с. 435. 1 2 Крейн, 1972, с. 441. 1 2 Цикон, 1990, с. 9. Литература Крейн С. Г. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1972. — 544 с.