Ru.Wikipedia.Org - Краевая задача

Меню
Главная
Случайная статья
Настройки

Краевая задача
Материал из https://ru.wikipedia.org

Краевая задача (граничная задача) — задача о нахождении решения заданного дифференциального уравнения (системы дифференциальных уравнений), удовлетворяющего краевым (граничным) условиям в концах интервала или на границе области. Краевые задачи для гиперболических и параболических уравнений часто называют начально-краевыми или смешанными, потому что в них задаются не только граничные, но и начальные условия.

Содержание

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Линейные уравнения n-го порядка

Краевая задача для линейного уравнения n-го порядка имеет вид

L(y)=f(x),\quad U_{\mu }(y)=\gamma _{\mu },\quad \mu =1,2,\dots ,m,

где

L(y)=\sum _{\nu =0}^{n}f_{\nu }(x)y^{(\nu )},

функции

f(x)

f_{\nu }(x)

непрерывны на отрезке

a\leq x\leq b

f_{n}(x)\neq 0

, краевые условия заданы линейными формами

U_{\mu }(y)=\sum _{k=0}^{n-1}\left[\alpha _{\mu }^{(k)}y^{(k)}(a)+\beta _{\mu }^{(k)}y^{(k)}(b)\right],\quad \mu =1,2,\dots ,m,

\gamma _{\mu }

— заданные числа. Матрица, составленная из коэффициентов

\alpha _{\mu },\beta _{\mu }

имеет ранг

m

, при этом краевые условия линейно независимы. Если

\gamma _{\mu }=0

f(x)\equiv 0

, краевая задача называется однородной, если только

\gamma _{\mu }=0

— полуоднородной.^[1]

Задача на собственные значения

Собственными значениями называются те значения параметра

\lambda

, при которых однородная краевая задача

L(y)+\lambda g(x)y=0,\quad U_{\mu }(y)=0,\quad \mu =1,2,\dots ,m,

имеет нетривиальное (т.е. не равное тождественно нулю) решение. Совокупность собственных значений называют спектром, а соответствующие нетривиальные решения — собственными функциями этой задачи.

Если

\varphi _{1}(x,\lambda ),\varphi _{2}(x,\lambda ),\dots ,\varphi _{n}(x,\lambda )

— фундаментальная система решений рассматриваемого дифференциального уравнения, такая что

\varphi _{p}^{(q)}(a,\lambda )=\left\{{\begin{array}{l}1,\quad q=p-1,\\0,\quad q\neq p-1.\end{array}}\right.\quad p=1,2,\dots ,n,\quad q=0,\dots ,n-1,

то собственные значения являются нулями характеристического детерминанта (определителя)

\Delta (\lambda )=\det[U_{\mu }(\varphi _{\nu })]

. Если

\Delta (\lambda )\not \equiv 0

, то множество собственных значений не более чем счётно как множество нулей целой функции.^[2]

Для краевой задачи на собственные значения решаются следующие две стандартные проблемы:

Задача о нахождении собственных значений. При каких предположениях относительно краевой задачи у неё существуют собственные значения? В каком случае их число бесконечно? Когда они действительны? Что можно сказать об их величине?
Задача о разложении по собственным функциям. Если $u_{\nu }(x)$ — собственные функции краевой задачи, то при каких условиях заданная функция $F(x)$ может быть разложена в сходящийся ряд

F(x)=\sum c_{\nu }u_{\nu }(x)

по функциям

u_{\nu }(x)

?^[3]^[4]

Частным случаем краевой задачи на собственные значения является задача Штурма-Лиувилля:

{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\right]-q(x)y+\lambda \rho (x)y=0

{\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _{1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2}+\beta _{2}^{2}\neq 0;\\\end{array}}

Функция Грина

Теорема 1. Если однородная краевая задача $L(y)=0,\,U_{\mu }(y)=0,\,\mu =1,2,\dots ,n$ имеет только тривиальное (нулевое) решение, то для любой функции $f(x)$ , непрерывной на отрезке $[a,b]$ , существует решение полуоднородной краевой задачи $L(y)=f,\,U_{\mu }(y)=0,\,\mu =1,2,\dots ,n$ , задаваемое формулой

y(x)=\int _{a}^{b}G(x,\xi )f(\xi )d\xi ,

где $G(x,\xi )$ — функция Грина однородной краевой задачи.^[5]

С точки зрения теории операторов, краевая задача задает линейный дифференциальный оператор с областью определения, состоящей из

n

раз непрерывно дифференцируемых на отрезке

[a,b]

функций

y

, удовлетворяющих краевым условиям

U_{\mu }(y)=0

, и действующий по правилу

L(y)

. При условиях теоремы 1 этот оператор имеет обратный, который является интегральным оператором с ядром

G(x,\xi )

.

Функция Грина

G(x,\xi )

однородной краевой задачи определяется как функция, удовлетворяющая следующим условиям:

$G(x,\xi )$ непрерывна и имеет непрерывные производные по $x$ до $(n-2)$ -го порядка включительно для всех значений $x$ и $\xi$ из интервала $[a,b]$ .
При любом фиксированном $\xi$ из отрезка $[a,b]$ функция $G(x,\xi )$ имеет непрерывные производные $(n-1)$ -го и $n$ -го порядка по $x$ в каждом из интервалов $[a,\xi )$ и $(\xi ,b]$ , причем производная $(n-1)$ -го порядка имеет при $x=\xi$ скачок ${\frac {1}{f_{n}(x)}}$ .
В каждом из интервалов $[a,\xi )$ и $(\xi ,b]$ функция $G(x,\xi )$ , рассматриваемая как функция от $x$ , удовлетворяет уравнению $L(G)=0$ и краевым условиям $U_{\mu }(G)=0,\,\mu =1,2,\dots ,n$ .

Теорема 2. Если однородная краевая задача имеет только тривиальное (нулевое) решение, то у неё существует единственная функция Грина.^[6]

С помощью функции Грина можно решить и неоднородную краевую задачу

L(y)=f(x),\quad U_{\mu }(y)=\gamma _{\mu },\quad \mu =1,2,\dots ,n.

Решение имеет вид

y=\int _{a}^{b}G(x,\xi )f(\xi )d\xi +\sum _{k=1}^{n}\gamma _{k}\psi _{k}(x),

где

\psi _{k}(x)

— решения краевых задач

L(y)=0,\quad U_{k}(y)=1,\quad U_{\mu }(y)=0,\quad \mu \neq k,\quad \mu =1,2,\dots ,n.

^[7]

Краевая задача с параметром

L(y)=\lambda y+f(x),\quad U_{\mu }(y)=0,\quad \mu =1,2,\dots ,n,

эквивалентна интегральному уравнению Фредгольма второго рода:

y(x)=\lambda \int _{a}^{b}G(x,\xi )y(\xi )d\xi +g(x),

где

g(x)=\int _{a}^{b}G(x,\xi )f(\xi )d\xi .

Собственные значения и собственные функции соответствующей однородной краевой задачи совпадают с характеристическими числами и собственными функциями ядра

G(x,\xi )

.^[8]

Системы линейных дифференциальных уравнений

Краевая задача состоит в отыскании системы функций

u_{1}(x),u_{2}(x),\dots ,u_{n}(x)

, удовлетворяющей системе линейных дифференциальных уравнений

u'_{\mu }=\sum _{\nu =1}^{m}f_{\mu ,\nu }(x)u_{\nu }+f_{\mu }(x),\quad \mu =1,2,\dots ,m,

и краевым условиям

U_{\mu }(u)=\gamma _{\mu },\quad \mu =1,2,\dots ,n,

где

f_{\mu },f_{\mu ,\nu }

— функции, непрерывные на отрезке

a\leq x\leq b

U_{\mu }(u)=\sum _{k=1}^{n}\left[\alpha _{\mu ,k}u_{k}(a)+\beta _{\mu ,k}u_{k}(b)\right],

матрица

(\alpha ,\beta )=\left({\begin{array}{llllll}\alpha _{1,1}&\dots &\alpha _{1,n}&\beta _{1,1}&\dots &\beta _{1,n}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\\alpha _{n,1}&\dots &\alpha _{n,n}&\beta _{n,1}&\dots &\beta _{n,n}\\\end{array}}\right)

имеет ранг

n

\gamma _{\mu }

— заданные числа.^[9]

Численные методы решения

Большинство численных методов решения краевых задач разработано для уравнений второго порядка.

Метод стрельбы (пристрелки). Решается задача Коши, у которой одно из начальных условий совпадает с краевым условием, а второе зависит от параметра. Значение параметра подбирается так, чтобы решение удовлетворяло второму краевому условия. Для подбора параметра можно использовать, например, метод бисекции или метод Ньютона.^[10]
Метод параллельной стрельбы. Является обобщением метода стрельбы.
Метод конечных разностей. Строится конечно-разностная аппроксимация уравнения и краевых условий и решается система линейных алгебраических уравнений.^[11]^[12]
Вариационные методы (метод Ритца, метод Галёркина).^[13]^[14]^[15]
Метод интегральных уравнений. Краевая задача при помощи функции Грина заменяется интегральным уравнением, которое решается с помощью квадратурных формул. ^[16]
Метод суперпозиции. Решение краевой задачи находится как линейная комбинация решений нескольких задач Коши.^[17]
Метод прогонки (не путать с методом прогонки для решения трёхдиагональных систем линейных алгебраических уравнений). Решение краевой задачи

y''=p(x)y+q(x),\quad y'(a)=\alpha _{0}y(a)+\alpha _{1},\quad y'(b)=\beta _{0}y(b)+\beta _{1}

удовлетворяет дифференциальному уравнению

y'(x)=\alpha _{0}(x)y(x)+\alpha _{1}(x)\quad (*)

где функции

\alpha _{0}(x),\alpha _{1}(x)

находятся как решения задачи Коши

\alpha '_{0}(x)+\alpha _{0}^{2}(x)=p(x),\quad \alpha _{0}(a)=\alpha _{0},

\alpha '_{1}(x)+\alpha _{0}(x)\alpha _{1}(x)=q(x),\quad \alpha _{1}(a)=\alpha _{1}.

Затем

y(x)

находится как решение уравнения (*) удовлетворяющее начальному условию

y'(b)=\alpha _{0}(b)y(b)+\alpha _{1}(b)

.^[18]^[19]

Применение

Задачи о продольных и крутильных колебаниях упругого стержня приводят к краевым задачам для уравнения второго порядка, задача о поперечных колебаниях стержня — к уравнению четвертого порядка.^[1] Решение уравнений в частных производных по методу Фурье приводит к задаче нахождения собственных значений и собственных функций краевой задачи, а также разложения произвольной функции в ряд по собственным функциям.^[20]

Уравнения в частных производных

Обозначения

Пусть

G

— ограниченная область в

\mathbb {R} ^{n}

с кусочно-гладкой границей

S

n

— вектор нормали к границе

S

, направленный вовне области

G

{\frac {\partial u}{\partial n}}

— производная по направлению нормали,

Q_{\infty }=G\times (0,\infty )

. Функции

p,q,\alpha ,\beta ,\rho

удовлетворяют условиям:

p\in C^{1}({\bar {G}}),\quad q\in C({\bar {G}}),\quad p(x)>0,\quad q(x)\geq 0,\quad x\in G,

\alpha \in C(S),\quad \beta \in C(S),\quad \alpha (x)\geq 0,\quad \beta (x)\geq 0,\quad \alpha (x)+\beta (x)>0,\quad x\in S,

\rho \in C({\bar {G}}),\quad \rho (x)>0,\quad x\in {\bar {G}}.

Здесь

{\bar {G}}=G\cup S

— замыкание области

G

C({\bar {G}})

— множество функций, непрерывных в

{\bar {G}}

C^{k}({\bar {G}})

— множество функций,

k

раз непрерывно дифференцируемых в

{\bar {G}}

.

Уравнения гиперболического типа

Смешанная (краевая) задача для уравнения гиперболического типа — это задача нахождения функции

u(x,t)\in C^{2}(Q_{\infty })\cap C^{1}({\bar {Q}}_{\infty })

, удовлетворяющей уравнению

\rho {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\mbox{div}}\,(p\,{\mbox{grad}}\,u)-qu+F(x,t),\quad (x,t)\in Q_{\infty },

начальным условиям

u_{|t=0}=u_{0}(x),\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}_{|t=0}=u_{1}(x),\quad x\in {\bar {G}},

и граничному условию

\alpha u+\beta {\frac {\partial u}{\partial n}}|_{S}=0.

Для существования решения необходимо, чтобы выполнялись условия гладкости

F\in C(Q_{\infty }),\quad u_{0}\in C^{1}({\bar {G}}),\quad u_{1}\in C({\bar {G}})

и условие согласованности

\alpha u_{0}+\beta {\frac {\partial u_{0}}{\partial n}}=0

Решение смешанной задачи единственно и непрерывно зависит от

u_{0},u_{1},F

.^[21]

Уравнения параболического типа

Смешанная (краевая) задача для уравнения параболического типа состоит в нахождении функции

u(x,t)\in C^{2}(Q_{\infty })\cap C^{1}({\bar {Q}}_{\infty }),\,{\mbox{grad}}_{x}\,u\in C({\bar {Q}}_{\infty })

, удовлетворяющей уравнению

\rho {\frac {\partial u}{\partial t}}={\mbox{div}}\,(p\,{\mbox{grad}}\,u)-qu+F(x,t),\quad (x,t)\in Q_{\infty },

начальному условию

u_{t=0}=u_{0}(x),\quad x\in {\bar {G}},

и граничному условию

\alpha u_{0}+\beta {\frac {\partial u}{\partial n}}=v(x,t),\quad (x,t)\in S\times [0,\infty ).

Для существования решения необходимы следующие условия гладкости

F\in C(Q_{\infty },\quad u_{0}\in C({\bar {G}}),\quad v\in C(S\times [0,\infty )),

и условие согласованности

\alpha u_{0}+\beta {\frac {\partial u_{0}}{\partial n}}|_{S}=v(x,0).

Решение смешанной задачи единственно и непрерывно зависит от

F,u_{0},v

.^[22]

Уравнения эллиптического типа

Изучаются следующие краевые задачи для трехмерного уравнения Лапласа

\Delta u=0

Пусть область

G\in \mathbb {R} ^{3}

такова, что

G_{1}=\mathbb {R} ^{3}\backslash G

Внутренняя задача Дирихле: найти гармоническую в области $G$ функцию $u\in C({\bar {G}})$ , принимающую на границе $S$ заданные (непрерывные) значения $u_{0}^{-}$ .
Внешняя задача Дирихле: найти гармоническую в области $G_{1}$ функцию $u\in C({\bar {G}}_{1})$ , принимающую на $S$ заданные (непрерывные) значения $u_{0}^{+}$ и обращающуюся в нуль на бесконечности.
Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую в области $G$ функцию $u\in C({\bar {G}})$ , имеющую на $S$ заданную (непрерывную) правильную нормальную производную $u_{1}^{-}$ .
Внешняя задача Неймана: найти гармоническую в области $G_{1}$ функцию $u\in C({\bar {G}}_{1})$ , имеющую на $S$ заданную (непрерывную) правильную нормальную производную $u_{1}^{+}$ и обращающуюся в нуль на бесконечности.

Аналогичные краевые задачи ставятся для уравнения Пуассона:

\Delta u=-f

Решение внутренней и внешней задач Дирихле единственно и непрерывно зависит от граничных данных. Решение внутренней задачи Неймана определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Решение внешней задачи Неймана единственно.^[23]

Методы решения

Метод разделения переменных^[24]^[25]
Метод распространяющихся волн (для уравнений гиперболического типа)^[26]
Метод функции Грина (для уравнений эллиптического типа)^[27]
Разностные методы.^[28]
Вариационные методы.^[29]
Метод конечных элементов.

См. также

Примечания

Литература

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Пер. с нем.. — 4-е изд., испр.. — М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1971. — 576 с.

Уравнения в частных производных

Численные методы