Меню Главная Случайная статья Настройки Ортогональные многочлены Материал из https://ru.wikipedia.org В математике последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов ${\displaystyle p_{0}(x),\ p_{1}(x),\ p_{2}(x),\ \ldots }$, где каждый многочлен ${\displaystyle p_{n}(x)}$ имеет степень ${\displaystyle n}$, а также любые два различных многочлена этой последовательности ортогональны друг другу в смысле некоторого скалярного произведения, заданного в пространстве ${\displaystyle L^{2}}$. Понятие ортогональных многочленов было введено в конце XIX в. в работах П. Л. Чебышёва по непрерывным дробям и позднее развито А. А. Марковым и Т. И. Стилтьесом и нашло различные применения во многих областях математики и физики. Содержание 1 Определение 1.1 Ортогональность с весом 1.2 Классическая формулировка 2 Общие свойства последовательностей ортогональных многочленов 2.1 Рекуррентные соотношения 2.2 Формула Кристоффеля — Дарбу 2.3 Корни многочленов 2.4 Минимальность нормы 2.5 Полнота системы 3 Дифференциальные уравнения, приводящие к ортогональным многочленам 4 Производные ортогональных полиномов 5 Классические ортогональные многочлены 5.1 Многочлены Якоби 5.2 Многочлены Гегенбауэра 5.3 Многочлены Лежандра 5.4 Многочлены Чебышёва 5.5 Многочлены Лагерра 5.6 Многочлены Эрмита 6 Построение ортогональных многочленов 6.1 Процесс ортогонализации Грама — Шмидта 6.2 По моментам весовой функции 6.3 По рекуррентным формулам 7 Применение ортогональных многочленов 8 Примечания 9 Ссылки 10 Для дальнейшего чтения Определение Ортогональность с весом Пусть ${\displaystyle (a,b)}$ — промежуток на вещественной оси (конечный или бесконечный). Этот промежуток называется интервалом ортогональности. Пусть ${\displaystyle w:~(a,b)\to \mathbb {R} }$ заданная непрерывная, строго положительная внутри промежутка ${\displaystyle (a,b)}$ функция. Такая функция называется весовой или просто весом. Функция ${\displaystyle w(x)}$ связана с пространством функций ${\displaystyle L_{2}}$, для которых сходится интеграл ${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[f(x)\right]^{2}w(x)\;dx<\infty }$. В полученном пространстве можно ввести скалярное произведение по формуле ${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\;dx}$ для вещественных функций, ${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}w(x)\;dx}$ для комплекснозначных функций. Если скалярное произведение двух функций равно нулю ${\displaystyle \langle f,g\rangle =0}$, то такие функции называются ортогональными с весом ${\displaystyle w(x)}$. Как правило, среди ортогональных полиномов рассматриваются только вещественные функции. Классическая формулировка Систему многочленов ${\displaystyle p_{0}(x),p_{1}(x),\cdots ,p_{n}(x),\cdots }$ называют ортогональной, если ${\displaystyle p_{n}(x)}$ — многочлен степени ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle \langle p_{m},p_{n}\rangle =\delta _{mn}h_{n}}$, где ${\displaystyle \delta _{mn}}$ — символ Кронекера, ${\displaystyle h_{n}}$ — нормировочный множитель. Ортогональный базис называется ортонормированным, если все его элементы имеют единичную норму ${\displaystyle ||p_{n}||=h_{n}=1}$. Некоторые классические многочлены, представленные ниже, могут быть нормированы по какому-либо другому правилу. Для таких многочленов значения ${\displaystyle h_{n}}$ отличаются от единицы и указаны в таблице внизу. Общие свойства последовательностей ортогональных многочленов Рекуррентные соотношения Любые ортогональные полиномы удовлетворяют следующей рекуррентной формуле, связывающей три последовательных многочлена из системы: ${\displaystyle {p_{n+1}(x)\ =\ (A_{n}x+B_{n})\ p_{n}(x)\ -\ C_{n}\ p_{n-1}(x)},}$ где ${\displaystyle A_{n}={\frac {k_{n+1}}{k_{n}}},\quad B_{n}=A_{n}\left(r_{n+1}-r_{n}\right),\quad C_{n}={\frac {A_{n}h_{n}}{A_{n-1}h_{n-1}}},}$ ${\displaystyle r_{n}={\frac {k'_{n}}{k_{n}}},\quad h_{n}=\langle p_{n}(x),p_{n}(x)\rangle }$, ${\displaystyle k_{n}}$ и ${\displaystyle k'_{n}}$ — коэффициенты при членах ${\displaystyle x^{n}}$ и ${\displaystyle x^{n-1}}$ в полиноме ${\displaystyle p_{n}(x).}$ Эта формула остаётся справедливой и для ${\displaystyle n=0}$, если положить ${\displaystyle p_{-1}(x)=0}$. Докажем, что для любого n существуют такие коэффициенты Выберем ${\displaystyle a\ x\ p_{n}(x)\ -\ p_{n+1}(x)}$ — многочлен Выберем ${\displaystyle (ax+b)\ p_{n}(x)\ -\ p_{n+1}(x)}$ — многочлен ( Разложим многочлен в ряд (это возможно, так как система ортогональных многочленов полна): ${\displaystyle (ax+b)\ p_{n}(x)\ -\ p_{n+1}(x)\ =\ \sum _{i=0}^{n-1}{\lambda }_{i}p_{i}(x).}$ Полученное выражение умножим скалярно на ${\displaystyle p_{j}(x)}$ степени ${\displaystyle j\leq n-1}$: ${\displaystyle a\ \langle x\ p_{n},p_{j}\rangle -b\ \langle p_{n},p_{j}\rangle \ =\ \sum _{i=0}^{n-1}{\lambda }_{i}\langle p_{i},p_{j}\rangle .}$ Сократим выражение, используя ортогональность полиномов и перестановочное свойство скалярного произведения: ${\displaystyle a\ \langle p_{n},\ xp_{j}\rangle \ =\ {\lambda }_{j}\langle p_{j},\ p_{j}\rangle .}$ Если ${\displaystyle j<n-1}$, то многочлен ${\displaystyle xp_{j}(x)}$ всё ещё имеет степень меньше Таким образом, ненулевой коэффициент только для ${\displaystyle j=n-1}$ и, положив ${\displaystyle c=\lambda _{n-1}}$, получаем искомое соотношение ${\displaystyle p_{n+1}(x)\ =\ (ax+b)\ p_{n}(x)\ -\ c\ p_{n-1}(x)}$. ФормулаКристоффеля—Дарбу ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {p_{k}(x)p_{k}(y)}{h_{k}}}={\frac {k_{n}}{k_{n+1}h_{n}}}{\frac {p_{n+1}(x)p_{n}(y)-p_{n+1}(y)p_{n}(x)}{x-y}}}$, или при ${\displaystyle y\to x}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}h_{k}^{-1}\left[p_{k}(x)\right]^{2}={\frac {k_{n}}{k_{n+1}h_{n}}}\left[p'_{n+1}(x)p_{n}(x)-p_{n+1}(x)p'_{n}(x)\right].}$ Корни многочленов Все корни многочлена ${\displaystyle p_{n}(x)}$ являются простыми, вещественными и все расположены внутри интервала ортогональности ${\displaystyle \left[a;b\right]}$.