Меню Главная Случайная статья Настройки Ортонормированная система Материал из https://ru.wikipedia.org Ортонормированная система — ортогональная система, у которой каждый элемент системы имеет единичную норму. Содержание 1 Определение 2 Примеры 3 Ортогонализация 4 См. также Определение Для любых элементов этой системы ${\displaystyle \varphi _{i},\varphi _{j}}$ скалярное произведение ${\displaystyle (\varphi _{i},\varphi _{j})=\delta _{ij}}$, где ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — символ Кронекера: ${\displaystyle \delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{matrix}}\right.}$ Ортонормированная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента ${\displaystyle {\vec {a}}}$ может быть вычислено по формулам: ${\displaystyle {\vec {a}}=\sum _{k}\alpha _{i}\varphi _{i}}$, где ${\displaystyle \alpha _{i}=({\vec {a}},\varphi _{i})}$. Примеры В конечномерном пространстве ${\displaystyle R^{n}}$ ортонормированной системой будет набор векторов: ${\displaystyle e_{1}=(1,0,\dots ,0),e_{2}=(0,1,0,\dots ,0),\dots ,e_{n}=(0,0,\dots ,0,1)}$. В пространстве ${\displaystyle L^{2}[0,l]}$ ортонормированной системой будет множество функций: ${\displaystyle \varphi _{k}(x)={\sqrt {\frac {2}{l}}}\sin k{\frac {\pi }{l}}x}$. Более того, эта система функций также будет ортонормированным базисом в пространстве ${\displaystyle L^{2}[0,l]}$. В пространстве ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$ система функций Радемахера является ортонормированной. Ортогонализация По любой линейно независимой системе можно построить ортонормированную систему, применив процесс ортогонализации Грама-Шмидта. См. также Ортонормированный базис Ортогональные многочлены