Меню

Главная
Случайная статья
Настройки
Парадокс Монти Холла
Материал из https://ru.wikipedia.org

Парадокс Монти Холла — одна из известных задач теории вероятностей, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу[1]. Эта задача не является парадоксом, так как не содержит в себе противоречия.

Задача впервые была опубликована[2][3] (вместе с решением) в 1975 году в журнале «The American Statistician» профессором Калифорнийского университета Стивом Селвином. Она стала популярной после появления в журнале «Parade» в 1990 году[4].

Содержание

Формулировка

Задача формулируется как описание игры, основанной на американской телеигре «Let’s Make a Deal», и названа в честь продюсера и первого ведущего этой передачи Монти Холла. Наиболее распространённая формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine, звучит следующим образом:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

После публикации немедленно выяснилось, что задача сформулирована некорректно: не все условия оговорены. Например, ведущий может придерживаться стратегии «адский Монти»: предлагать сменить выбор тогда и только тогда, когда игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора будет вести в такой ситуации к гарантированному проигрышу (см. ниже).

Наиболее популярной является задача с дополнительным условием[5] — участнику игры заранее известны следующие правила:
  • автомобиль равновероятно размещён за любой из трёх дверей;
  • ведущий знает, где находится автомобиль;
  • ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
  • если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть (то есть, игрок указал на верную дверь, и за обеими оставшимися дверями — козы), он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.


В нижеследующем тексте обсуждается задача Монти Холла именно в этой формулировке.

Разбор

Меняя дверь, игрок выигрывает, если изначально взял проигрышную, и наоборот[6]. Отсюда и апостериорные вероятности выигрыша автомобиля: 13 если не сменить, и

Это можно записать таблицей: пусть для определённости игрок выбрал 1-ю дверь.
Дверь 1 Дверь 2 Дверь 3 Ведущий откроет Результат, если менять выбор Результат, если не менять выбор
Авто Коза Коза 2 или 3 Коза Авто
Коза Авто Коза 3 Авто Коза
Коза Коза Авто 2 Авто Коза


Но часто при решении этой задачи рассуждают примерно так: ведущий всегда в итоге убирает одну проигрышную дверь, и тогда вероятности появления автомобиля за двумя не открытыми становятся равны

Для большинства людей этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации, и благодаря возникающему несоответствию между логическим выводом и ответом, к которому склоняет интуитивное мнение, задача и называется парадоксом Монти Холла.

Следует иметь в виду, что первый выбор двери игроком влияет на то, из каких двух оставшихся дверей будет выбирать Монти.

Ещё более наглядной ситуация с дверями становится, если представить, что дверей не 3, а, скажем, 1000, и после выбора игрока ведущий убирает 998 лишних (с козами), оставляя 2 двери: ту, которую выбрал игрок, и ещё одну. Представляется более очевидным, что вероятности нахождения приза за этими дверьми различны, и не равны

Также поставив себя на место игрока в примере с 1000 дверьми. Вряд ли Вы изначально выберете призовую дверь — вероятность этого очень мала: сразу найти нужную из 1000 практически невозможно. Остановившись на первоначальном выборе, Вы будете думать, что промахнулись, а приз скорее всего спрятан за одной из других 999 дверей. Когда ведущий открывает 998 дверей, за которыми находятся козы, можно сказать, что он отметает все неправильные варианты и подсказывает ту самую призовую дверь.

Другой способ рассуждения — замена условия эквивалентным. Представим, что, вместо осуществления игроком первоначального выбора (пусть это будет всегда дверь № 1) и последующего открытия ведущим двери с козой среди оставшихся (то есть всегда среди № 2 и № 3), игроку нужно угадать дверь с первой попытки, но ему предварительно сообщается, что за дверью № 1 автомобиль может быть с исходной вероятностью (33 %), а среди оставшихся дверей указывается, за какой из дверей автомобиля точно нет (0 %). Соответственно, на последнюю дверь всегда будет приходиться 67 % и стратегия её выбора предпочтительна.

Ещё более наглядное рассуждение — заранее зная полные условия игры (то, что выбор предложат поменять) и заранее с этими условиями согласившись, игрок фактически в первый раз выбирает дверь, за которой приза, по его мнению, нет (и может ошибиться с вероятностью

Другое поведение ведущего

Классическая версия парадокса Монти Холла утверждает, что ведущий обязательно предложит игроку сменить дверь, независимо от того, выбрал тот машину или нет. Но возможно и более сложное поведение ведущего. В этой таблице кратко описаны несколько вариантов поведения. Если не сказано противное, призы равновероятно расположены за дверями, ведущий знает, где автомобиль, а если есть выбор — равновероятно выбирает из двух коз. Если ведущий влияет на вероятности, а не следует жёсткой процедуре, то его цель — уберечь автомобиль от испытуемого. Цель испытуемого, соответственно, его забрать.
Поведение ведущего Результат
«Адский Монти»: ведущий предлагает сменить, если дверь правильная[4]. С вероятностью предложения не будет, и испытуемый останется с козой. С вероятностью  — предложение будет, и смена всегда даст козу.
«Ангельский Монти»: ведущий предлагает сменить, если дверь неправильная[7]. С вероятностью предложения не будет, и испытуемый возьмёт автомобиль. С вероятностью  — предложение будет, и смена всегда даст автомобиль.
«Несведущий Монти» или «Монти Бух»: ведущий нечаянно падает, открывается дверь, и оказывается, что за ней не машина. Другими словами, ведущий сам не знает, что за дверями, открывает дверь полностью наугад, и только случайно за ней не оказалось автомобиля[8][9][10]. С вероятностью упавший Монти откроет автомобиль, проигрыш. С вероятностью последует предложение, и смена даст выигрыш в случаев.
Именно так устроено американское шоу «Deal or No Deal» — правда, случайную дверь открывает сам игрок, и если за ней нет автомобиля, ведущий предлагает сменить[~ 1].
Ведущий выбирает одну из коз и открывает её, если игрок выбрал другую дверь. С вероятностью предложения не будет, проигрыш. С вероятностью последует предложение, и смена даст выигрыш в случаев[~ 1].
Ведущий всегда открывает козу. Если выбран автомобиль, левая коза открывается с вероятностью p и правая с вероятностью q=1p.[9][10][11] Если ведущий открыл левую дверь, смена даёт выигрыш с вероятностью . Если правую — . Однако испытуемый никак не может повлиять на вероятность того, что будет открыта правая дверь — независимо от его выбора это произойдёт с вероятностью .
То же самое, p=q= (классический случай). Смена даёт выигрыш с вероятностью .
То же самое, p=1, q=0 («бессильный Монти» — усталый ведущий стоит у левой двери и открывает ту козу, которая ближе). Если ведущий открыл правую дверь (вероятность этого ), смена даёт гарантированный выигрыш. Если левую, что бывает в случаев — вероятность .
Ведущий не знает, что за дверями. Он выбирает одну из двух оставшихся дверей, тайно советуется с напарником, и предлагает сменить, если там коза. То есть он открывает козу всегда, если выбран автомобиль, и с вероятностью в противном случае.[12] Аналогично варианту «Монти Бух»: с вероятностью тайный напарник скажет, что там автомобиль, предложения не будет, проигрыш. С вероятностью будет предложение, и смена даст выигрыш в случаев[~ 1].
Общий случай: игра повторяется многократно, вероятность спрятать автомобиль за той или иной дверью, а также открыть ту или иную дверь произвольная, однако ведущий знает, где автомобиль, и всегда предлагает смену, открывая одну из коз.[13][14] Равновесие Нэша: ведущему выгоднее всего именно парадокс Монти Холла в классическом виде — машина прячется за любой из дверей с вероятностью ; если есть выбор, открываем любую козу наугад. Вероятность выигрыша .
То же самое, но ведущий может не открывать дверь вообще. Равновесие Нэша: ведущему выгодно не открывать дверь, вероятность выигрыша .
  1. 1 2 3 Данной сноской обозначены ситуации, когда играющему не важно, менять дверь или нет.


Вариант: задача трёх узников

Задача предложена Мартином Гарднером в 1959 году.

Трое заключённых, A, B и С, заключены в одиночные камеры и приговорены к смертной казни. Губернатор случайным образом выбирает одного из них и милует его. Стражник, охраняющий заключённых, знает, кто помилован, но не имеет права сказать этого. Заключённый A просит стражника сказать ему имя того (другого) заключённого, кто точно будет казнён: «Если B помилован, скажи мне, что казнён будет C. Если помилован C, скажи мне, что казнён будет B. Если они оба будут казнены, а помилован я, подбрось монету, и скажи имя B или C».

Стражник говорит заключённому A, что заключённый B будет казнён. Заключённый A рад это слышать, поскольку он считает, что теперь вероятность его выживания стала , а не , как была до этого. Заключённый A тайно говорит заключённому С, что B будет казнён. Заключённый С также рад это слышать, поскольку он всё ещё полагает, что вероятность выживания заключённого А — , а его вероятность выживания возросла до

Разбор

Знакомый с парадоксом Монти Холла теперь знает, что прав C и не прав A.
  • Помилуют A, стражник сказал B — вероятность
  • Помилуют A, стражник сказал C — вероятность тоже
  • Помилуют B, стражник сказал C — вероятность .
  • Помилуют C, стражник сказал B — вероятность тоже .


Так что фраза «Казнят B» оставляет 1-й и 4-й варианты — то есть

Люди думают, что вероятность , потому что они игнорируют суть вопроса, который заключённый A задаёт стражнику. Если бы стражник мог ответить на вопрос «Будет ли заключенный B казнён?», тогда в случае положительного ответа вероятность казни А действительно бы уменьшалась с

К вопросу можно подойти и с другой стороны: если A помилуют, стражник скажет любое имя наугад; если A казнят — стражник скажет того, кого казнят вместе с A. Так что вопрос не даст A никакого дополнительного шанса на помилование.

См. также

Примечания
  1. Воронцов, И.Д., Райцин, А.М. ПАРАДОКС МОНТИ ХОЛЛА // ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ. — 2015. — № 2. — С. 7. Архивировано 15 июня 2021 года.
  2. Selvin, Steve. A problem in probability (letter to the editor) (англ.) // American Statistician[англ.] : journal. — Vol. 29, no. 1. — P. 67. — .
  3. Selvin, Steve. On the Monty Hall problem (letter to the editor) (англ.) // American Statistician[англ.] : journal. — Vol. 29, no. 3. — P. 134. — .
  4. 1 2 Tierney, John (21 июля 1991), Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer?, The New York Times, Архивировано из оригинала 9 ноября 2007, Дата обращения: 18 января 2008
  5. The Monty Hall Problem, Reconsidered Архивная копия от 8 марта 2019 на Wayback Machine. Martin Gardner in the Twenty-First Century
  6. Парадокс Монти Холла - YouTube. Дата обращения: 11 апреля 2024. Архивировано 4 июля 2024 года.
  7. Granberg, Donald (1996). «To Switch or Not to Switch». Appendix to vos Savant, Marilyn, The Power of Logical Thinking. St. Martin’s Press. ISBN 0-312-30463-3, (restricted online copy в «Книгах Google»).
  8. Granberg, Donald and Brown, Thad A. (1995). "The Monty Hall Dilemma, " Personality and Social Psychology Bulletin 21(7): 711—729.
  9. 1 2 Rosenthal, Jeffrey S. Monty Hall, Monty Fall, Monty Crawl (англ.) // Math Horizons[англ.] : magazine. — 2005a. — P. September issue, 5—7. Online reprint, 2008 Архивная копия от 16 ноября 2010 на Wayback Machine.
  10. 1 2 Rosenthal, Jeffrey S. (2005b): Struck by Lightning: the Curious World of Probabilities. Harper Collings 2005, ISBN 978-0-00-200791-7.
  11. Morgan, J. P., Chaganty, N. R., Dahiya, R. C., & Doviak, M. J. (1991). "Let’s make a deal: The player’s dilemma, " Архивная копия от 21 августа 2016 на Wayback Machine American Statistician 45: 284—287.
  12. Mueser, Peter R. and Granberg, Donald (May 1999). «The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making» Архивная копия от 25 мая 2013 на Wayback Machine, University of Missouri Working Paper 99-06. Retrieved June 10, 2010.
  13. Gill, Richard (2010) Monty Hall problem. pp. 858—863, International Encyclopaedia of Statistical Science, Springer, 2010. Eprint [1]
  14. Gill, Richard (2011) The Monty Hall Problem is not a probability puzzle (it’s a challenge in mathematical modelling). Statistica Neerlandica 65(1) 58-71, February 2011. Eprint [2]


Ссылки

Литература
  • Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика, — М.: Высшее образование. 2005
  • Gnedin, Sasha «The Mondee Gills Game.» (недоступная ссылка) Журнал The Mathematical Intelligencer, 2011
  • Савант, Мэрилин вос. Колонка «Ask Marilyn», журнал Parade Magazine от 17 февраля 1990.
  • Савант, Мэрилин вос. Колонка «Ask Marilyn», журнал Parade Magazine от 26 февраля 2006.
  • Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara. «A three-door game show and some of its variants». Журнал The Mathematical Scientist, 1992, № 2.
  • Tijms, Henk. Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life. Cambridge University Press, New York, 2004. (ISBN 0-521-54036-4)
Downgrade Counter