Меню Главная Случайная статья Настройки Точка перегиба Материал из https://ru.wikipedia.org Точка перегиба — точка плоской кривой, в которой её ориентированная кривизна меняет знак. Если кривая является графиком функции, то в этой точке выпуклая часть функции отделяется от вогнутой (то есть вторая производная функции меняет знак). Содержание 1 Определения 2 Свойства 3 Необходимое и достаточное условия 4 Классификация точек перегиба 5 Функции с разрывами 6 См. также 7 Примечания 8 Литература 9 Ссылки Определения Точка (простого) перегиба регулярной кривой — это такая точка этой кривой, в которой касательная к кривой имеет с ней соприкосновение второго порядка и разбивает кривую, то есть точки кривой, лежащие в некоторой окрестности данной точки по разные стороны от этой точки, лежат также по разные стороны от касательной[1][2]. Если кривая 2-регулярна, то условие заменяется на следующее: ориентированная кривизна кривой при переходе через точку перегиба изменяет знак. Точкой высшего (вырожденного) перегиба кривой называется такая её точка, касательная к кривой в которой имеет с ней соприкосновение, порядок которого не ниже трёх, и касательная разбивает кривую[1]. Условие смены знака ориентированной кривизны не равносильно разбиению кривой на вогнутую и выпуклую часть. Так, в случае точки возврата кривая может не иметь касательной. Для исключения этого вышеприведённых определениях требуется регулярность кривой. Более интересный случай — функция ${\displaystyle y=x^{5}(1+\sin ^{2}{\frac {1}{x}})}$ при ${\displaystyle x\neq 0,y=0}$ при ${\displaystyle x=0}$, которая в точке 0 касается оси x и пересекает её, но меняет знак вблизи нуля бесконечное число раз; здесь даже существует вторая непрерывная производная[3]. Для исключения такого случая требуют, чтобы функция имела изолированный экстремум (см. ниже). Точка кривой называется точкой распрямления, если кривизна кривой в этой точке равна нулю[4]. Иногда точку распрямления кривой, не являющуюся точкой перегиба этой кривой, называют параболической точкой распрямления[1]. Дифференцируемая функция имеет точку перегиба ${\displaystyle (x,f(x))}$ тогда и только тогда, когда её первая производная, ${\displaystyle f'}$, имеет изолированный экстремум в точке ${\displaystyle x}$ (это не то же самое, что ${\displaystyle f}$ имеет экстремум в этой точке). То есть в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x}$ имеется одна и только одна точка, в которой ${\displaystyle f'}$ имеет (локальный) минимум или максимум. Если все экстремумы функции ${\displaystyle f'}$ изолированы, то точка перегиба — это точка на графике ${\displaystyle f}$, в которой касательная пересекает кривую[5][6]. Высшей (вырожденной) вершиной регулярной кривой называется такая её точка, в которой соприкасающаяся окружность имеет с ней касание, порядок которого выше третьего[1]. Восходящая точка перегиба — это точка перегиба, где производная имеет локальный минимум, и нисходящая точка перегиба— это точка перегиба, где производная имеет локальный максимум. Для алгебраической кривой несингулярная точка является точкой перегиба тогда и только тогда, когда кратность точки пересечения касательной с кривой нечётна и больше двух[7]. Свойства Точка перегиба ${\displaystyle m}$ однозначно характеризуется двумя свойствами: в точке ${\displaystyle m}$ кривая имеет единственную касательную, в достаточно малой окрестности точки ${\displaystyle m}$ кривая расположена внутри одной пары противоположных углов, образуемых касательной и нормалью. Если кривая задана как график дифференцируемой функции ${\displaystyle f}$, точка перегиба является точкой экстремума для ${\displaystyle f'}$. Необходимое и достаточное условия Если ${\displaystyle x}$ является точкой перегиба для ${\displaystyle f}$, то вторая производная ${\displaystyle f''(x)}$ равна нулю, если существует, но это условие не является достаточным. Требуется, чтобы наименьший порядок ненулевой производной (выше второй) был нечётным (третья, пятая и т. д. производные). Если наименьший порядок ненулевой производной чётен, точка не является точкой перегиба, а является параболической точкой распрямления [8]. В алгебраической геометрии, однако, как точки перегиба, так и точки спрямления обычно называют точками перегиба. Определение предполагает, что ${\displaystyle f}$ имеет ненулевую производную более высокого порядка по ${\displaystyle x}$, которая не обязательно существует. Но если таковая существует, из определения следует, что знак ${\displaystyle f'(x)}$ постоянен по обеим сторонам от ${\displaystyle x}$ в окрестности точки ${\displaystyle x}$. Достаточное условие точки перегиба: 1) Достаточным условием точки перегиба является: Если ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle k}$ раз непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x}$, где ${\displaystyle k}$ нечётно и ${\displaystyle k\geq 3}$, ${\displaystyle f^{(n)}(x_{0})=0}$ для ${\displaystyle n=2,\dots ,k-1}$ и ${\displaystyle f^{(k)}(x_{0})\neq 0}$, то ${\displaystyle x_{0}}$ является точкой перегиба ${\displaystyle f(x)}$. 2) Другое достаточное условие требует, чтобы ${\displaystyle f''(x+\varepsilon )}$ и ${\displaystyle f''(x-\varepsilon )}$ имели разные знаки в окрестности точки x при условии, что в данной точке существует касательная[2]. Классификация точек перегиба Точки перегиба можно классифицировать согласно производной ${\displaystyle f'(x)}$: если ${\displaystyle f'(x)}$ равно нулю, точка является стационарной точкой перегиба; если ${\displaystyle f'(x)}$ не равно нулю, точка является нестационарной точкой перегиба. Примером седловой точки является точка ${\displaystyle (0,0)}$ графика ${\displaystyle y=x^{3}}$. Касательной служит ось ${\displaystyle x}$, и она разделяет график в этой точке. Нестационарные точки перегиба можно продемонстрировать графиком функции ${\displaystyle y=x^{3}}$, если его чуть повернуть относительно начала координат. Касательная в начале координат всё ещё делит график на две части, но градиент не равен нулю. Функции с разрывами Некоторые функции меняют выпуклость/вогнутость в некоторой точке, но не имеют в этой точке перегиба. Вместо этого они могут менять кривизну при переходе вертикальной асимптоты или в точке разрыва. Возьмём, например, функцию ${\displaystyle 2x^{2}/(x^{2}-1)}$. Она выпукла при ${\displaystyle |x|>1}$ и вогнута при ${\displaystyle |x|<1}$. Однако у этой функции нет точки перегиба, поскольку ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle -1}$ не принадлежат области определения функции. См. также Критическая точка Экологический порог[англ.] Конфигурация Гессе образована девятью точками перегиба эллиптической кривой Стрельчатая S-образная арка[англ.], архитектурная форма с точками перегиба Вершина кривой, локальный минимум или максимум кривизны Примечания 1 2 3 4 Шикин, 1997, с. 39. 1 2 Bronshtein, Semendyayev, 2005, с. 231. Фихтенгольц, 2001, с. 305. Шикин, 1997, с. 27. Фихтенгольц, 2001, с. 294—305. Кудрявцев, 1981, с. 190—195. Point of inflection . encyclopediaofmath.org. Дата обращения: 30 декабря 2016. Архивировано 29 апреля 2018 года. Рашевский, 1950, с. 18—19. Литература Е.В. Шикин, М.М. Франк-Каменецкий. Кривые на плоскости и в пространстве (справочник). — Москва: «ФАЗИС», 1997. — ISBN 5-7036-0027-8, ББК 22.15. Weisstein, Eric W. Inflection Point (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Ссылки Inflection Points of Fourth Degree Polynomials