Меню Главная Случайная статья Настройки Переменные Мандельштама Материал из https://ru.wikipedia.org Переменные Мандельштама — три скалярные релятивистские инвариантные величины, сохраняющиеся в процессе рассеяния двух элементарных частиц с образованием двух новых или сохранением двух старых элементарных частиц или в процессе распада одной элементарной частицы на три. Обычно обозначаются как ${\displaystyle s,t,u}$. Были введены американским физиком Стэнли Мандельштамом (1928—2016) в 1958 году[1]. Процесс рассеяния можно полностью описать, задав значения только двух переменных Мандельштама. Каждая из них равна квадрату полной энергии некоторой пары частиц в той системе координат, в которой их центр покоится.[2] Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 Примечания 4 Литература Определение Рассмотрим процесс рассеяния двух элементарных частиц с векторами энергии-импульса ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$ и образования после взаимодействия двух новых или сохранения двух старых элементарных частиц с векторами энергии-импульса ${\displaystyle p_{3},p_{4}}$. Соотношения между энергией и массой имеют вид: ${\displaystyle p_{i}^{2}=g_{\mu \nu }p_{i}^{\mu }p_{i}^{\nu }=m_{i}^{2}c^{2}.}$ В пространстве-времени с метрикой ${\displaystyle \mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)}$ они приобретают вид ${\displaystyle m_{i}^{2}c^{4}=E_{i}^{2}-p_{i}^{2}c^{2},}$ или в релятивистских единицах ${\displaystyle (c=1)}$ ${\displaystyle m_{i}^{2}=E_{i}^{2}-p_{i}^{2}.}$ Здесь ${\displaystyle i=1,2,3,4}$ — индекс элементарной частицы. Сохранение каждой компоненты вектора энергии-импульса выражается уравнением: ${\displaystyle p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}.}$ Из этого уравнения можно получить три переменных Мандельштама в релятивистских единицах ${\displaystyle (c=1)}$: ${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2}}$ ${\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{2}-p_{4})^{2}}$ ${\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{2}-p_{3})^{2}}$ Свойства Переменные Мандельштама связаны соотношением: ${\displaystyle s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}.}$ Для вывода используем два соотношения: Квадраты четырёхимпульсов равны квадратам масс: ${\displaystyle p_{i}^{2}=m_{i}^{2}}$ Сохранение четырёхимпульса: ${\displaystyle p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}}$ ${\displaystyle p_{1}=-p_{2}+p_{3}+p_{4}}$ Таким образом: ${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}}$ ${\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}=p_{1}^{2}+p_{3}^{2}-2p_{1}\cdot p_{3}}$ ${\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}=p_{1}^{2}+p_{4}^{2}-2p_{1}\cdot p_{4}}$ Суммируя и подставляя квадраты масс, получаем: ${\displaystyle s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}+2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}}$ Замечаем, что последние четыре слагаемых обращаются в нуль в силу сохранения четырёхимпульса: ${\displaystyle 2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}=2p_{1}\cdot (p_{1}+p_{2}-p_{3}-p_{4})=0}$ Таким образом: ${\displaystyle s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}}$ Примечания Mandelstam, S. Determination of the Pion-Nucleon Scattering Amplitude from Dispersion Relations and Unitarity (англ.) // Physical Review : journal. — 1958. — Vol. 112, no. 4. — P. 1344. — doi:10.1103/PhysRev.112.1344. — . Архивировано из оригинала 28 мая 2000 года. Займан, 1971, с. 226. Литература Займан Дж. Современная квантовая теория. — М.: Мир, 1971. — 288 с.