Меню Главная Случайная статья Настройки Плотный порядок Материал из https://ru.wikipedia.org Плотный порядок — это отношение между элементами множеств в частичном или линейном порядке (обозначим его <) на множестве X, когда для всех x и y из X, для которых выполняется x < y, существует элемент z в X, такой что x < z < y. Иными словами, порядок называют плотным, когда нет соседних элементов. Поскольку между любыми двумя элементами плотного порядка есть ещё хотя бы один, любой отрезок плотного порядка бесконечен[1]. Содержание 1 Пример 2 Единственность 3 Обобщения 4 См. также 5 Примечания 6 Литература 7 Литература для дальнейшего чтения Пример Плотным упорядоченным множеством являются вещественные числа и рациональные числа с обычным порядком. С другой стороны, обычный порядок целых чисел плотным не является. Единственность Георг Кантор доказал[англ.], что два любых плотных линейно упорядоченных счётных множества без нижней и верхней границ изоморфны относительно упорядочения[англ.][2]. В частности, существует изоморфизм с сохранением порядка между рациональными числами и другими плотными счётными множествами, включая двоично-рациональные числа и алгебраические числа. В методе подбора[англ.][3] используется доказательство этого результата. Функция Минковского может быть использована для определения изоморфизмов порядка между квадратичными алгебраическими числами и рациональными числами, а также между рациональными числами и двоично-рациональными числами. Обобщения Бинарное отношение R считается плотным, если для всех связанных отношением R x и y, имеется z, такое что x и z, а также z и y связаны отношением R. Формально: ${\displaystyle \forall x\ \forall y\ xRy\Rightarrow (\exists z\ xRz\land zRy).}$ В терминах суперпозиции отношений[англ.] R с собой, условие плотности может быть альтернативно выражено как ${\displaystyle R\subseteq RR}$[4]. Достаточными условиями к тому, что бинарное отношение R на множестве X будет иметь плотный порядок, являются случаи когда: R рефлексивно; R корефлексивно; R квазирефлексивно; R лево- или право-евклидово; R симметрично и полуконнексно[англ.] и X имеет ${\displaystyle \geqslant 3}$ элементов. Ни одно из них не является необходимым. Непустое плотное отношение не может быть антитранзитивным. Строго частичный порядок < является плотным порядком тогда и только тогда, когда < является плотным отношением. Плотное отношение является идемпотентным отношением[англ.], когда оно также транзитивно. См. также Плотное множество Плотное в себе подмножество[англ.] Семантика Крипке — плотное отношение достижимости, которое соответствует аксиоме ${\displaystyle \Box \Box A\rightarrow \Box A}$ Примечания Лекция 5: упорядоченные множества (рус.). Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук (2015). Дата обращения: 16 февраля 2021. Архивировано 1 ноября 2019 года. Roitman, 1990, с. 123. Dasgupta, 2013, с. 161. Schmidt, 2011, с. 212. Литература Judith Roitman. Theorem 27, p. 123 // Introduction to Modern Set Theory. — John Wiley & Sons, 1990. — Т. 8. — (Pure and Applied Mathematics). — ISBN 9780471635192. Литература для дальнейшего чтения