Меню Главная Случайная статья Настройки Поверхность Цолля Материал из https://ru.wikipedia.org Поверхность Цолля — поверхность, гомеоморфная 2-мерной сфере, с римановой метрикой, в которой все геодезические являются замкнутыми и имеют одинаковую длину. Названы в честь ученика Давида Гильберта Отто Цолля, обнаружившего первые нетривиальные примеры.[1] Содержание 1 Примеры 2 См. также 3 Литература 4 Примечания Примеры Обычная сфера в пространстве со стандартной евклидовой метрикой, очевидно, является поверхностью Цолля, но требуемым свойством обладает также бесконечномерное семейство деформаций этой метрики. Из следующего утверждения следует, что существуют примеры поверхностей Цолля среди поверхностей вращения:[2] Пусть ${\displaystyle h\colon [-1,1]\to (-1,1)}$ есть нечётной гладкая функция, такая, что ${\displaystyle h(1)=0}$. Тогда сфера с метрикой ${\displaystyle (1+h(\cos r))\cdot (dr)^{2}+\sin r\cdot (d\theta )^{2}}$ заданной в полярных координатах ${\displaystyle (r,\theta )}$ есть поверхность Цолля. Результат следует из существования явных интегралов геодезического потока для таких метрик. Следующий результат даёт несимметричные примеры:[3] Для любой нечётной гладкой функции ${\displaystyle f}$ на единичной сфере ${\displaystyle (\mathbb {S} ^{2},g_{0})}$ существуют однопараметрическое семейство конформных факторов ${\displaystyle \phi _{t}}$ таких, что ${\displaystyle g_{t}=\phi _{t}\cdot g_{0}}$ есть поверхность Цолля и ${\displaystyle f={\tfrac {\partial \phi _{t}}{\partial t}}|_{t=0}}$. В доказательстве применяется обобщённая теорема о неявной функции, так называемая теорема Нэша — Мозера. См. также Гипотеза Бляшке Литература Вильгельм Бляшке «Круг и шар», М.: Наука, 1967 Примечания Zoll, Otto; Ueber Flchen mit Scharen geschlossener geodtischer Linien. Math. Ann. 57 (1903), no. 1, 108—133. Бессе, Артур. Многообразия с замкнутыми геодезическими = Manifolds all of whose Geodesics are Closed. — М.: Мир, 1981. — 320 с. — 5200 экз. Guillemin, V.: "The Radon transform on Zoll surfaces". Advances in Mathematics 22 (1976), 85–119.