Меню

Главная
Случайная статья
Настройки
Подерное преобразование
Материал из https://ru.wikipedia.org

Подерное преобразование кривой относительно фиксированной точки — преобразование плоскости, отображающее любую кривую плоскости в другую кривую следующим образом: каждая точка исходной кривой отображается в основание перпендикуляра, опущенного из данной фиксированной точки на касательную к исходной кривой, проведённую в текущей точке. Фиксированная точка называется центром преобразования[1]. Линия, в которую отображается исходная кривая, называется подерой[2][3][4].

Подерное преобразование есть неточечное преобразование, поскольку оно отображает кривую в кривую, то есть это преобразование в множестве кривых, причём его не получится представить как преобразование в множестве точек[5], так как оно не сохраняет точки, прямые и окружности[1].

Например[6]:
  • подера прямой есть точка — основание перпендикуляра, опущенного из центра преобразования на прямую;
  • подера точки, представленной как пучок прямых, «касательных» к этой точке, есть окружность с диаметром — отрезком с концами в исходной точке и в центре преобразования;
  • подера окружности относительно своего центра, — эта же окружность;
  • подера окружности относительно точки, лежащей не в центре окружности, — это улитка Паскаля.
  • Подера окружности — улитка Паскаля
  • Центр преобразования внутри окружности
  • Центр преобразования на окружности — кардиоида
  • Центр преобразования вне окружности


Подерное преобразование как касательное

Подерное преобразование можно представить не только как отображение линни в линию (прямая и точка считаются линиями), но и как отображение линейного элемента плоскости в линейный элемент[7].

При подерном преобразовании его центр и любая точка исходной кривой вместе с её касательной полностью определяют[7]:
  • точку подеры, соответствующую точке исходной кривой;
  • касательную к подере в этой точке.


Любая точка подеры определяется по определению. Касательная к подере в данной точке определяется как касательная к окружности, проходящей через три точки: центр подерного преобразования, точку подеры и её прообраз на исходной кривой. Диаметр этой окружности — отрезок с концами в центре подерного преобразования и точке подеры[7][8].

Отсюда следует, что подерное преобразование отображает кривые, касающиеся друг друга в некоторой точке, в подеры, касающиеся друг в друга в точке, в которую отображается исходная точка. Иначе точка кривой с заданным в ней направлением отображается подерным преобразованием в току подеры с заданным в ней направлением. Следовательно, подерное преобразование отображает линейный элемент плоскости в линейный элемент, то есть действует в множестве линейных элементов[9].

Таким образом, подерное преобразование отображает кривую, представляющую собой набор своих линейных элементов, в подеру, составленную из линейны элементов, в которые отображаются линейные элементы исходной кривой. То есть подерное преобразование есть касательное преобразование (преобразование Ли)[9].

Примечания
  1. 1 2 Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования, 1963, 8.4. Подерное преобразование, с. 134.
  2. Иванов А. Б. Подера, 1984.
  3. Подера и антиподера, 1975.
  4. Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, с. 64.
  5. Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования, 1963, 8.4. Подерное преобразование, с. 124.
  6. Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования, 1963, 8.4. Подерное преобразование, с. 134—135.
  7. 1 2 3 Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования, 1963, 8.4. Подерное преобразование, с. 135, 136.
  8. Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 1.1. Coordinate Systems, p. 48.
  9. 1 2 Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования, 1963, 8.4. Подерное преобразование, с. 136.


Источники
Downgrade Counter