Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
Подера (фр. podaire, от др.-греч. , род. пад. — нога[1][2], то есть стопа перпендикуляра; англ. pedal curve; pedal) кривой относительно точки — некоторая кривая, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки на касательные к данной кривой[2][3][4][5][6][7][8].
Устаревший термин подэра[3][9][10], или подэрная кривая[9].
В некоторых математических текстах вместо русского термина «подера» используется калька с английского «педаль»[11][12].
Например, подера окружности относительно точки, лежащей не в центре окружности, — это улитка Паскаля[3][13].
Подера кривой есть инверсия полярного преобразования кривой, полюсы которых совпадают с полюсом подеры[14].
Впервые подера рассмотрена 30 июня 1718 года Колином Маклореном (англ. Colin Maclaurin), профессором математики из Абердина, в журнале Философские труды Королевского общества (англ. Philosophical Transactions of the Royal Society) в статье на латинском языке «III. Трактат о построении и измерении кривых, где большинство бесконечных серий кривых сводятся либо к прямым линиям, либо к более простым кривым. Автор Колин Маклорен, профессор математики в колледже[англ.] Нового Абердина[англ.]» (лат. III. Tractatus de Curvarum Constructione et Mensura; ubi plurimae Series Curvarum Infinitae vel rectis mensurantur vel ad Simpliciores Curvas reducuntur. Autore Colin Maclaurin, in Collegio novo Abredonensi Matheseos Professore)[15][16][17].
Содержание
Определения
Определения подеры и антиподеры на плоскости
Подера, или (первая) позитивная подера[18][19], или подошвенная кривая[19] (англ. pedal; pedal curve; first positive pedal), кривой — некоторая кривая, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из фиксированной точки, которая называется полюсом[6][20][8], или центром[4], или точкой подеры[20][21], на касательные к исходной кривой[3][2][4][5][6][7][21][20][8]. Подера кривой порядка , , имеет порядок [6].
Устаревший термин подэра[3][9][10], или подэрная кривая[9].
В некоторых математических текстах вместо русского термина «подера» используется калька с английского «педаль»[11][12].
Антиподера, или (первая) негативная подера[22][23][19] (англ. first negative pedal), кривой относительно точки — кривая, подера которой относительно той же точки есть исходная кривая[3][2][19]. Другими словами, антиподера — огибающая кривая перпендикуляров, проведённых через точки исходной кривой к прямым, соединяющим точки исходной кривой с фиксированной точкой — полюсом[23].
Например, парабола есть антиподера прямой, если полюс антиподеры совпадает с фокусом параболы[6][19], как показано на рисунке справа.
Построение антиподеры исходя из уже построенной её подеры называется построением с помощью подеры[9].
Например, всегда получится коническое сечение, если осуществить построение с помощью подеры из окружности или прямой[9][19].
Подеры степеней выше первой обеих разновидностей определяются как подеры подер предыдущей степени с одним и тем же полюсом[23].
Определение подеры через инверсию и полярное преобразование
Имеет место схема преобразований кривых для подеры, инверсии и полярного преобразования кривой, показанная на рисунке справа, из которой вытекает следующее утверждение[14]:
Другие связанные определения
Подерное преобразование — преобразование плоскости, отображающее точки каждой кривой в соответствующие точки её подеры. Это преобразование неточечное, то есть оно не сохраняет точки, прямые и окружности[4]. Подерное преобразование есть касательное преобразование (преобразование Ли)[24].
Подерная система координат — система координат, основанная на подерном преобразовании и состоящие из двух величин: расстояний от полюса до точки кривой и до соответствующей точки её подеры[25][26].
Подера поверхности, или подерная поверхность[27] — некоторая поверхность, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из постоянной точки на касательные плоскости данной поверхности[3][27].
Подоида, или вторичная каустика (англ. orthotomic; orthotomic curve; secondary caustic), кривой относительно данного полюса — кривая, получающаяся из подеры растяжением в два раза относительно полюса[28][29]. Другими словами, подоида — некоторая кривая, составленная из точек, симметричных полюсу относительно касательных данной кривой[30][29][31]. Эволюта ортотомики есть каустика[31].
В некоторых математических текстах вместо русского термина «подоида» используется калька с английского «ортотомика»[11].
Например, подоида конического сечения относительно его фокуса есть[32]:
Антиподоида кривой относительно полюса — кривая, подоида которой относительно полюса есть исходная кривая[33]. Другими словами, антиподоида — огибающая кривая перпендикуляров, проведённых через середины отрезков, соединяющих точки исходной кривой с полюсом[33].
Контраподера[34][35], или нормальная подера, или нормальная подерная кривая (англ. contrapedal; normal pedal; normal pedal curve), кривой относительно полюса — подера эволюты этой кривой относительно того же полюса. Другими словами, котраподера — некоторая кривая, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из полюса на нормали данной кривой[18][34][35]. Соответственно, подера кривой относительно полюса — это контраподера эвольвенты этой кривой относительно того же полюса[35]
Уравнения подеры
Параметрические уравнения подеры
В общем случае, для параметрически заданной кривой , имеющей производную , подера
относительно точки задаётся следующими уравнениями[36][21]:
-
-
Эти основные уравнения[37] можно принять за определение подеры[38].
Параметрическое уравнение касательной прямой параметрически заданной кривой , имеющей производную , в точке , имеет вид
Параметрическое уравнение прямой перпендикулярной касательной и параллельной нормали к параметрически заданной кривой , имеющей производную , в точке , имеет вид
Если эта перпендикулярная прямая проходит через точку , то она имеет вид
Чтобы найти точку пересечения касательной прямой и прямой, перпендикулярной к ней и проходящей через точку , нужно решить систему уравнений
Вычтем из левой и правой частей первого равнения соответственно левую и правую части второго:
Подставим полученное выражение для в первое уравнение системы уравнений:
Иногда основные уравнения записывают в более сложном виде[38]:
-
-
В частном случае, относительно полюса в начале координат, основные уравнения будут такими[3][36]:
В векторном виде основное уравнение будет проще[38]:
или в более сложном виде[38]:
где — вектор нормали, перпендикулярный касательной[38].
Относительно полюса [38][3][36]:
или в более сложном виде[38][3][36]:
В комплексных числах для параметрически заданной кривой , имеющей производную , основное уравнение подеры
относительно точки будут ещё проще[40][37]:
-
В частном случае, относительно полюса , основное уравнение будет таким[40][37]:
-
|
|
