Меню Главная Случайная статья Настройки Возведение в степень Материал из https://ru.wikipedia.org Возведение в степень (устар. возвышение в степень[1]) — арифметическая операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя. Степень с основанием ${\displaystyle a}$ и натуральным показателем ${\displaystyle b}$ обозначается как ${\displaystyle a^{b}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{b},}$ где ${\displaystyle b}$ — количество множителей (умножаемых чисел)[2][К 1]. Например, ${\displaystyle 3^{2}=3\cdot 3=9;\quad 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16}$ В языках программирования, где написание ${\displaystyle a^{b}}$ невозможно, применяются альтернативные обозначения. Возведение в степень может быть определено также для отрицательных, Извлечение корня — одна из операций, обратных возведению в степень, она по известным значениям степени ${\displaystyle c=a^{b}}$ и показателя ${\displaystyle b}$ находит неизвестное основание ${\displaystyle a={\sqrt[{b}]{c}}}$. Вторая обратная операция — логарифмирование, она по известным значениям степени ${\displaystyle c=a^{b}}$ и основания ${\displaystyle a}$ находит неизвестный показатель ${\displaystyle b=\log _{a}c}$. Задача нахождения числа по известному его логарифму (потенцирование, антилогарифм) решается с помощью операции возведения в степень. Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений. Содержание 1 Употребление в устной речи 2 Свойства 2.1 Основные свойства 2.2 Таблица натуральных степеней небольших чисел 2.3 Свойство степеней чисел 3 Расширения 3.1 Целая степень 3.2 Рациональная степень 3.3 Вещественная степень 3.4 Комплексная степень 4 Степень как функция 4.1 Разновидности 4.2 Ноль в степени ноль 5 История 5.1 Обозначение 5.2 Запись возведения в степень в языках программирования 6 Вариации и обобщения 7 Примечания 8 Литература 9 Ссылки Употребление в устной речи Запись ${\displaystyle a^{n}}$ обычно читается как «a в ${\displaystyle n}$-й степени» или « Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например, ${\displaystyle 10^{2}}$ читается как «десять в квадрате», ${\displaystyle 10^{3}}$ читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики. Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры. В частности, вместо употребления слова «умножение» они говорили о площади прямоугольника или об объёме параллелепипеда: вместо ${\displaystyle a^{2}}$, ${\displaystyle a^{3}}$ древние греки говорили «квадрат на отрезке Число, являющееся результатом возведения натурального числа в ${\displaystyle n}$-ую степень, называется точной ${\displaystyle n}$-ой степенью. В частности, число, являющееся результатом возведения натурального числа в квадрат (куб), называется точным квадратом (кубом). Точный квадрат также называется полным квадратом. Свойства Основные свойства Все приведённые ниже основные свойства возведения в степень выполняются для натуральных, целых, рациональных и вещественных чисел[4]. Для комплексных чисел, в силу многозначности комплексной операции, они выполняются только в случае натурального показателя степени. ${\displaystyle -a^{2}=(-a)*a,(-a)^{2}=a^{2}}$ ${\displaystyle a^{0}=1,(a\neq 0)}$ ${\displaystyle a^{1}=a}$ ${\displaystyle \left(ab\right)^{n}=a^{n}b^{n}}$ ${\displaystyle \left({a \over b}\right)^{n}={{a^{n}} \over {b^{n}}}}$ ${\displaystyle a^{n}a^{m}=a^{n+m}}$ ${\displaystyle \left.{a^{n} \over {a^{m}}}\right.=a^{n-m}}$ ${\displaystyle \left(a^{n}\right)^{m}=a^{nm}}$ ${\displaystyle a^{n}=(a^{m})^{n \over m}}$ ${\displaystyle a^{n}={\sqrt[{m}]{a}}^{nm}}$ ${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},(a\neq 0)}$ ${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-n}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{n},{\bigl (}a\neq 0,b\neq 0{\bigr )}}$ Запись ${\displaystyle a^{n^{m}}}$ не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть, в общем случае,${\displaystyle (a^{n})^{m}\neq a^{\left({n^{m}}\right)}}$ Например, ${\displaystyle (2^{2})^{3}=4^{3}=64}$, а ${\displaystyle 2^{\left({2^{3}}\right)}=2^{8}=256}$. В математике принято считать запись ${\displaystyle a^{n^{m}}}$ равнозначной ${\displaystyle a^{\left({n^{m}}\right)}}$, а вместо ${\displaystyle (a^{n})^{m}}$ можно писать просто ${\displaystyle a^{nm}}$, пользуясь предыдущим свойством. Впрочем, некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения[какой?]. Возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, ${\displaystyle a^{b}\neq b^{a}}$, например, ${\displaystyle 2^{5}=32}$, но ${\displaystyle 5^{2}=25.}$ Причём во втором случае, когда основание больше показателя, результат получается меньше, чем в обратном случае: иначе говоря, когда ${\displaystyle a>b}$, ${\displaystyle a^{b}<b^{a}.}$ Таблица натуральных степеней небольших чисел n n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 (Абсолютная бесконечность и Бесконечность) 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19 683 59 049 3 4 16 64 256 1024 4096 16 384 65 536 262 144 1 048 576 4 5 25 125 625 3125 15 625 78 125 390 625 1 953 125 9 765 625 5 6 36 216 1296 7776 46 656 279 936 1 679 616 10 077 696 60 466 176 6 7 49 343 2401 16 807 117 649 823 543 5 764 801 40 353 607 282 475 249 7 8 64 512 4096 32 768 262 144 2 097 152 16 777 216 134 217 728 1 073 741 824 8 9 81 729 6561 59 049 531 441 4 782 969 43 046 721 387 420 489 3 486 784 401 9 10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 10 000 000 000 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Свойство степеней чисел Всякая степень числа есть сумма стольких последовательных нечётных чисел, сколько единиц в основании степени. Расширения Целая степень Операция обобщается на произвольные целые числа, включая отрицательные и ноль[5]:: ${\displaystyle a^{z}={\begin{cases}a^{z},&z>0\\1,&z=0,a\neq \;0\\{\dfrac {1}{a^{|z|}}},&z<0,a\neq \;0\end{cases}}}$ Результат не определён при ${\displaystyle a=0}$ и ${\displaystyle z\leqslant 0}$. Рациональная степень Возведение в рациональную степень ${\displaystyle m/n,}$ где ${\displaystyle m}$ — целое число, а ${\displaystyle n}$ — натуральное, положительного числа определяется следующим образом[5]: ${\displaystyle a^{m \over n}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m};\quad \forall a>0,a\in \mathbb {R} ,m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} .}$. Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного рационального показателя. ${\displaystyle 0^{m \over n}=0;\quad m\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {N} .}$ Для отрицательных ${\displaystyle a}$ степень с дробным показателем не рассматривается. Следствие: ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{1/n};\quad a>0,a\in \mathbb {R} .}$ Таким образом, понятие рациональной степени объединяет возведение в целочисленную степень и извлечение корня в единую операцию. Вещественная степень Множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле, обозначается ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Множество вещественных чисел не является счётным, его мощность называется мощностью континуума. Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение[6] соответствующих операций над рациональными числами. Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями (где ${\displaystyle \alpha }$ — положительное): ${\displaystyle \alpha =a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\},~~\alpha >0,}$ ${\displaystyle \beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\},}$ определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: ${\displaystyle \alpha =[a_{n}]}$ и ${\displaystyle \beta =[b_{n}]}$, то их степенью называют число ${\displaystyle \gamma =[c_{n}]}$, определённое степенью последовательностей ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ и ${\displaystyle \{b_{n}\}}$: ${\displaystyle \gamma =\alpha ^{\beta }{=}[a_{n}]^{[b_{n}]}=[a_{n}{\widehat {}}b_{n}]}$, вещественное число ${\displaystyle \gamma =\alpha ^{\beta }}$, удовлетворяет следующему условию: ${\displaystyle (a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow ({(a')}^{b'}\leqslant \alpha ^{\beta }\leqslant {(a'')}^{b''})\Rightarrow ({(a')}^{b'}\leqslant \gamma \leqslant {(a'')}^{b''}),~~~\forall ~a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ,~\forall \alpha >0,~\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {R} .}$ Таким образом степенью вещественного числа ${\displaystyle \alpha ^{\beta }}$ является такое вещественное число ${\displaystyle \gamma }$ которое содержится между всеми степенями вида ${\displaystyle {(a')}^{b'}}$ с одной стороны и всеми степенями вида ${\displaystyle {(a'')}^{b''}}$с другой стороны. Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного вещественного показателя. ${\displaystyle 0^{\beta }=0;\quad \beta \in \mathbb {R} ,\beta >0.}$ Для отрицательных ${\displaystyle \alpha }$ степень с вещественным показателем не рассматривается. На практике для того, чтобы возвести число ${\displaystyle \alpha }$ в степень ${\displaystyle \beta }$, необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. За приближенное значение степени ${\displaystyle \alpha ^{\beta }}$ берут степень указанных рациональных чисел ${\displaystyle a^{b}}$. При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$. Пример возведения в степень ${\displaystyle \gamma =\pi ^{e}}$, с точностью до 3-го знака после запятой: Округляем данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений); Получаем: ${\displaystyle \pi \approx 3.1416,\ e\approx 2.7183}$; возводим в степень: ${\displaystyle \gamma =\pi ^{e}\approx 3.1416^{2.7183}\approx 22.4592}$; Округляем до 3-го знака после запятой: ${\displaystyle \gamma \approx 22.459}$. Полезные формулы: ${\displaystyle x^{y}=a^{y\log _{a}x}}$ ${\displaystyle x^{y}=e^{y\ln x}}$ ${\displaystyle x^{y}=10^{y\lg x}}$ Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции ${\displaystyle x^{y}}$, и для приближённого возведения в нецелую степень или для целочисленного возведения в степень, когда числа слишком велики для того, чтобы записать результат полностью. Комплексная степень Возведение комплексного числа в натуральную степень выполняется обычным умножением в тригонометрической форме. Результат однозначен: ${\displaystyle z^{n}=r^{n}(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{n}=r^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi );\quad \forall n\in \mathbb {N} ,z\in \mathbb {C} ,r\in \mathbb {R} }$ , (формула Муавра)[7]. Для нахождения степени произвольного комплексного числа в алгебраической форме ${\displaystyle a+bi}$ можно воспользоваться формулой бинома Ньютона (справедливой и для комплексных чисел): ${\displaystyle (a+bi)^{n}=a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}bi+C_{2}^{n}a^{n-2}b^{2}i^{2}+...+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}i^{n-1}+b^{n}i^{n},\quad \forall n\in \mathbb {N} }$ . Заменяя степени ${\displaystyle i^{k}}$ в правой части формулы их значениями в соответствии с равенствами: ${\displaystyle i^{4k}=1,i^{4k+1}=i,i^{4k+2}=-1,i^{4k+3}=-i,k\in \mathbb {N} }$, получим: ${\displaystyle (a+bi)^{n}=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}C_{n}^{2k}a^{n-2k}b^{2k}+i\sum _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}C_{n}^{2k+1}a^{n-2k-1}b^{2k+1}.}$[8] Основой для более общего определения комплексной степени служит экспонента ${\displaystyle e^{z}}$, где ${\displaystyle e}$ — число Эйлера, ${\displaystyle z=x+iy}$ — произвольное комплексное число[9]. Определим комплексную экспоненту с помощью такого же ряда, как и вещественную: ${\displaystyle e^{z}=1+z+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+\cdots .}$ Этот ряд абсолютно сходится для любого комплексного ${\displaystyle z,}$ поэтому его члены можно как угодно перегруппировывать. В частности, отделим от него часть для ${\displaystyle e^{iy}}$: ${\displaystyle e^{iy}=1+iy+{\frac {(iy)^{2}}{2!}}+{\frac {(iy)^{3}}{3!}}+{\frac {(iy)^{4}}{4!}}+\cdots =\left(1-{\frac {y^{2}}{2!}}+{\frac {y^{4}}{4!}}-{\frac {y^{6}}{6!}}+\cdots \right)+i\left(y-{\frac {y^{3}}{3!}}+{\frac {y^{5}}{5!}}-\cdots \right).}$ В скобках получились известные из вещественного анализа ряды для косинуса и синуса, и мы получили формулу Эйлера: ${\displaystyle e^{z}=e^{x}e^{yi}=e^{x}(\cos y+i\sin y)}$ Общий случай ${\displaystyle a^{b}}$, где ${\displaystyle a,b}$ — комплексные числа, определяется через представление ${\displaystyle a}$ в показательной форме: ${\displaystyle a=re^{i(\theta +2\pi k)}}$ согласно определяющей формуле[9]: ${\displaystyle a^{b}=(e^{\operatorname {Ln} (a)})^{b}=(e^{\operatorname {ln} (r)+i(\theta +2\pi k)})^{b}=e^{b(\operatorname {ln} (r)+i(\theta +2\pi k))}.}$ Здесь ${\displaystyle \operatorname {Ln} }$ — комплексный логарифм, ${\displaystyle \ln }$ — его главное значение. При этом комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно[9]. Неучёт этого обстоятельства может привести к ошибкам. Пример: возведём известное тождество ${\displaystyle e^{2\pi i}=1}$ в степень ${\displaystyle i.}$ Слева получится ${\displaystyle e^{-2\pi },}$ справа, очевидно, 1. В итоге: ${\displaystyle e^{-2\pi }=1,}$ что, как легко проверить, неверно. Причина ошибки: возведение в степень ${\displaystyle i}$ даёт и слева, и справа бесконечное множество значений (при разных ${\displaystyle k}$), поэтому правило ${\displaystyle \left(a^{b}\right)^{c}=a^{bc}}$ здесь неприменимо. Аккуратное применение формул определения комплексной степени даёт слева и справа ${\displaystyle e^{-2\pi k};}$ отсюда видно, что корень ошибки — путаница значений этого выражения при ${\displaystyle k=0}$ и при ${\displaystyle k=1.}$ Степень как функция Разновидности Поскольку в выражении ${\displaystyle x^{y}}$ используются два символа (${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$), то его можно рассматривать как одну из трёх функций. Функция переменной ${\displaystyle x}$ (при этом ${\displaystyle y}$ — постоянная-параметр). Такая функция называется степенной. Обратная функция — извлечение корня. Функция переменной ${\displaystyle y}$ (при этом ${\displaystyle x}$ — постоянная-параметр). Такая функция называется показательной (частный случай — экспонента). Обратная функция — логарифм. Функция двух переменных ${\displaystyle f(x,y)=x^{y}.}$ Отметим, что в точке ${\displaystyle (0,0)}$ эта функция имеет неустранимый разрыв. В самом деле, вдоль положительного направления оси ${\displaystyle X,}$ где ${\displaystyle y=0,}$ она равна единице, а вдоль положительного направления оси ${\displaystyle Y,}$ где ${\displaystyle x=0,}$ она равна нулю. Ноль в степени ноль Выражение ${\displaystyle 0^{0}}$ (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла, поскольку, как указано выше, функция ${\displaystyle f(x,y)=x^{y}}$ в точке (0, 0) разрывна. Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что это выражение равно 1. В частности, тогда разложение в ряд экспоненты: ${\displaystyle e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}}$ можно записать короче: ${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}.}$ Следует предостеречь, что соглашение ${\displaystyle 0^{0}=1}$ чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке. История Обозначение В Европе сначала степень величины записывали словесными сокращениями (q или Q обозначало квадрат, c или C — куб, bq или qq — биквадрат, то есть 4-я степень и т. д.) или как произведение — например, ${\displaystyle x^{4}}$ изображалось как ${\displaystyle xxxx.}$ Отред записывал ${\displaystyle x^{5}-15x^{4}}$ следующим образом: ${\displaystyle 1qc-15qq}$ (если неизвестная всего одна, ей часто не присваивался буквенный значок)[10]. Немецкая школа коссистов для каждой степени неизвестной предлагала особый готический значок. В XVII веке постепенно стала преобладать идея явно указывать показатель степени. Жирар (1629 год) для возведения в степень числа ставил показатель в круглых скобках перед этим числом, а если числа правее показателя не было, то это значило, что подразумевается наличие неизвестного в указанной степени[11]; например, ${\displaystyle (2)2+1(2)}$ у него означало ${\displaystyle 2^{2}+x^{2}}$. Варианты размещения показателя степени предлагали Пьер Эригон и шотландский математик Джеймс Юм, они записывали ${\displaystyle x^{4}}$ в виде ${\displaystyle x4}$ и ${\displaystyle x^{IV}}$ соответственно[12]. Современная запись показателя степени — правее и выше основания — введена Декартом в его «Геометрии» (1637), правда, только для натуральных степеней, больших 2 (возведение в квадрат ещё долгое время обозначалось по-старому, произведением). Позднее Валлис и Ньютон (1676) распространили декартову форму записи степени на отрицательные и дробные показатели, трактовка которых к этому времени уже была известна из трудов Орема, Шюке, Стевина, Жирара и самого Валлиса. К началу XVIII столетия альтернативы для записи степеней «по Декарту», как выразился Ньютон в «Универсальной арифметике», «вышли из моды» (out of fashion). Показательная функция, то есть возведение в переменную степень, появилась сначала в письмах, а потом и в трудах Лейбница (1679). Возведение в мнимую степень обосновал Эйлер (1743)[12][13]. Запись возведения в степень в языках программирования С появлением компьютеров и компьютерных программ возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень в «двухэтажном» виде. В связи с этим изобрели особые значки для обозначения операции возведения в степень. Первым таким значком были две звёздочки: «**», используемые в языке Фортран. В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки: «» (стрелки Кнута). Во второй редакции ASCII символ стрелки был заменён символом «циркумфлекс» (^, на жаргоне его также называют «шапочка» (hat) и «карет»). Разработчикам языков программирования было предложено использовать комбинацию из циркумфлекса и вертикальной черты, чтобы изобразить стрелку, однако такой вариант не получил распространения, и в этом качестве стали использовать просто символ циркумфлекса[14]. Примеры: 3^2 = 9; 5^2 = 25; 2^3 = 8; 5^3 = 125. Иногда в компьютерных системах и языках программирования значок возведения в степень имеет левую ассоциативность, в отличие от принятого в математике соглашения о правой ассоциативности возведения в степень. То есть некоторые языки программирования (например, программа Excel) могут воспринимать запись a^b^c, как (a^b)^c, тогда как другие системы и языки (например, Haskell, Perl, Wolfram|Alpha и многие другие) обработают эту запись справа налево: a^(b^c), как это принято в математике: ${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{\left(b^{c}\right)}}$. Некоторые знаки возведения в степень в языках программирования и компьютерных системах: x y: Алгол, некоторые диалекты Бейсика; x ^ y: Бейсик, J, MATLAB, R, Microsoft Excel, TeX, bc[К 2], Haskell[К 3], Lua, MathML и большинство систем компьютерной алгебры; x ^^ y: Haskell[К 4], D; x ** y: Ада, Bash, Кобол, Фортран, FoxPro, Gnuplot, OCaml, Perl, PL/I, PHP[К 5], Python, REXX, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Haskell[К 6], Turing[англ.], VHDL, ECMAScript[К 7][К 8], AutoHotkey[К 8], JavaScript; xy: APL. Во многих языках программирования (например, в Java, Си и Паскале) отсутствует операция возведения в степень, и для этой цели используют стандартные функции. Вариации и обобщения Возведение в степень с натуральным показателем можно определить не только для чисел, но и для нечисловых объектов, для которых определено умножение — например, к матрицам, линейным операторам, множествам (относительно декартова произведения, см. декартова степень). Обычно эта операция рассматривается в некотором мультипликативном моноиде ${\displaystyle M}$ (полугруппе с единицей) и определяется индуктивно[15] для любого ${\displaystyle x\in M}$: ${\displaystyle x^{0}=e}$ (где ${\displaystyle e}$ — единица моноида). ${\displaystyle x^{n+1}=x^{n}x}$, где ${\displaystyle n\geqslant 0}$ Если ${\displaystyle n<0,}$ то ${\displaystyle x^{n}}$ определён только для обратимых элементов ${\displaystyle x.}$ Особенную ценность представляет применение возведения в степень к группам и полям, где возникает прямой аналог отрицательных степеней. Гипероператор возведения в степень — тетрация. Примечания См., напр.: §13 «Возвышение в степень чисел» в рус. пер. работы Р. Дедекинда, где последовательно используется этот оборот; ср. также старые учебники по алгебре. 1 2 Степень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 221. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 140—141. 1 2 Справочник по элементарной математике, 1978, с. 182—184. Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида ${\displaystyle \{x:\alpha <x<\beta \}}$ Пискунов Н. С. § 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа  (рус.). scask.ru. Дата обращения: 27 марта 2022. Близняков Н.М. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА  (рус.). Учебно-методическое пособие для вузов 23. Дата обращения: 27 марта 2022. Архивировано 1 апреля 2022 года. 1 2 3 History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §290—297. History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §164. 1 2 Александрова Н. В., 2008, с. 130—131. History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §298—301, 307—309. Fischer, Eric. The Evolution of Character Codes, 1874–1968 (англ.) 25 (20 июня 2000). Дата обращения: 30 ноября 2022. Архивировано 30 ноября 2022 года. Комментарии В разговорной речи иногда говорят, например, что ${\displaystyle a^{3}}$ — « Для целой степени. Для неотрицательной целой степени. Поддерживает отрицательные степени, в отличие от ^, реализованной только как последовательное умножение. Начиная с версии 5.6 (см. Руководство по PHP › Appendices › Миграция с PHP 5.5.x на PHP 5.6.x › Новые возможности Архивная копия от 18 апреля 2018 на Wayback Machine). Для степени, представленной числом с плавающей запятой — реализовано через логарифм. Описан в стандарте EcmaScript 7 (ECMA-262, 7th edition), принятом в июне 2016 года. 1 2 В JavaScript изначально присутствует метод Math.pow(x, y). Литература Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд. — СПб.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978. — 509 с. Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 стр. Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с. Степенная функция // Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1969—1978. Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 reprint). — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7. Ссылки Возведение в степень: правила, примеры  (неопр.). Дата обращения: 2 февраля 2020.