Ru.Wikipedia.Org - Формула Эйлера

Меню
Главная
Случайная статья
Настройки

Формула Эйлера
Материал из https://ru.wikipedia.org

Формула Эйлера связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями. Названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл.

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа

x

выполнено следующее равенство:

e^{ix}=\cos x+i\sin x

где

e

— одна из важнейших математических констант, определяющаяся следующей формулой:

e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}

i

— мнимая единица.

Содержание

История

Формула Эйлера впервые была приведена в статье английского математика Роджера Котса (помощника Ньютона) «Логометрия» (лат. Logometria), опубликованной в журнале «Философские труды Королевского общества» в 1714 году^[1] и перепечатана в книге «Гармония мер» (лат. Harmonia mensurarum), которая была издана в 1722 году, уже после смерти автора^[2]. Котс привёл её как небольшое предложение среди множества геометрических построений, которое после перевода на современный математический язык и исправления ошибки в знаке, имеет вид^[3]:

\ln(\cos x+i\sin x)=ix

Эйлер опубликовал формулу в её привычном виде в статье 1740 года и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» (лат. Introductio in analysin infinitorum) (1748)^[4], построив доказательство на равенстве бесконечных разложений в степенные ряды правой и левой частей. Ни Эйлер, ни Котс не представляли себе геометрической интерпретации формулы: представление о комплексных числах как точках на комплексной плоскости появилось примерно 50 лет спустя у К. Весселя.

Производные формулы

При помощи формулы Эйлера можно определить функции

\sin

\cos

следующим образом:

\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}

\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}

Далее можно ввести понятие тригонометрических функций комплексной переменной. Пусть

x=iy

, тогда:

\sin iy={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}=i\mathop {\mathrm {sh} } \,y

\cos iy={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\mathop {\mathrm {ch} } \,y

Известное тождество Эйлера, связывающее три фундаментальные математические константы:

e^{i\pi }+1=0

является частным случаем формулы Эйлера при

x=\pi

.

Применение в теории чисел

В аналитической теории чисел часто рассматриваются специальные суммы вида

\sum \limits _{x\in X}{e^{2\pi if(x)}}

, где

X

— некоторое множество рассматриваемых объектов, а

f:\ X\to {\mathbb {R} }

— функция, отражающая изучаемые свойства объектов.

Для теории чисел, изучающей целые числа, имеют значение прежде всего выводимые из формулы Эйлера индикаторные тождества, касающиеся произвольного целого числа

n

\sum \limits _{k=1}^{p}{e^{2\pi {\frac {nk}{p}}i}}=p[p|n]=\left\{{\begin{matrix}p,&n\equiv 0{\pmod {p}}\\0,&n\not \equiv 0{\pmod {p}}\end{matrix}}\right.

\int \limits _{0}^{1}{e^{2\pi n\alpha i}}=[n=0]=\left\{{\begin{matrix}1,&n=0\\0,&n\not =0\end{matrix}}\right.

Применение в комплексном анализе

Благодаря формуле Эйлера появилась так называемая тригонометрическая и показательная запись комплексного числа:

x=a+ib=|x|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=|x|e^{i\varphi }

.

Также значительным следствием можно считать формулы возведения комплексного числа в произвольную степень:

x=|x|e^{i\varphi }

x^{n}=|x|^{n}e^{ni\varphi }

. Геометрический смысл данной формулы следующий: при возведении числа

x

в степень

n

его расстояние до центра возводится в степень

n

, а угол поворота относительно оси

OX

увеличивается в

n

раз.

Формула возведения в степень верна не только для целых

n

, но и для вещественных. В частности, показательная запись числа позволяет находить корни любой степени из любого комплексного числа.

Взаимосвязь с тригонометрией

Формула Эйлера предоставляет связь между математическим анализом и тригонометрией, а также позволяет интерпретировать функции синуса и косинуса как взвешенные суммы экспоненциальной функции:

\cos x=\mathrm {Re} \left(e^{ix}\right)={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}

{\textstyle \sin x=\mathrm {Im} \left(e^{ix}\right)={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}.}

Вышеуказанные уравнения могут быть получены путём сложения или вычитания формул Эйлера:

e^{ix}=\cos x+i\sin x\;

{\textstyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\;}

с последующим решением относительно синуса или косинуса.

Также эти формулы могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной. Например, выполняя подстановку x = iy, получаем:

\cos(iy)={e^{-y}+e^{y} \over 2}=\cosh(y)

\sin(iy)={e^{-y}-e^{y} \over 2i}=-{1 \over i}{e^{y}-e^{-y} \over 2}=i\sinh(y).

Комплексные экспоненты позволяют упростить тригонометрические расчеты, поскольку ими проще манипулировать, нежели синусоидальными компонентами. Один из подходов предусматривает преобразование синусоид в соответствующие экспоненциальные выражения. После упрощения результат выражения остается вещественным. Например:

{\begin{aligned}\cos x\cdot \cos y&={\frac {(e^{ix}+e^{-ix})}{2}}\cdot {\frac {(e^{iy}+e^{-iy})}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\left[\underbrace {\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}} _{\cos(x+y)}+\underbrace {\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}} _{\cos(x-y)}\right].\end{aligned}}

Суть другого подхода в представлении синусоид в качестве вещественных частей комплексного выражения и проведения манипуляций непосредственно с комплексным выражением. Например:

{\begin{aligned}\cos(nx)&=\mathrm {Re} \{\ e^{inx}\ \}=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix}+e^{-ix}-e^{-ix})\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot \underbrace {(e^{ix}+e^{-ix})} _{2\cos(x)}-e^{i(n-2)x}\ \}\\&=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}

Данная формула используется для рекурсивного вычисления значений cos(nx) для целых значений n и произвольных значений x (в радианах).

Доказательство

Доказательство формулы Эйлера можно провести с использованием ряда Маклорена. Разложим функцию

e^{ix}

в ряд Тейлора в окрестности точки a = 0 (в ряд Маклорена) по степеням

x

. Получим:

e^{ix}=1+{\frac {ix}{1!}}+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+\ldots =\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots \right)+i\left({\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \right)

Но

1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\cos x

{\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sin x

Поэтому

e^{ix}=\cos x+i\sin x

, что и требовалось доказать.

Наглядная демонстрация

Известно, что

e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}

. Нижеследующие изображения иллюстрируют, что предел

e^{i\varphi }=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {i\varphi }{n}}\right)^{n}

равен точке, находящейся на единичной окружности, и длина дуги от этой точки до точки 1 равняется

\varphi

. Это, в частности, связано с тем, что

\lim \limits _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1

n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=8
n=16

Процесс изменения

e^{\varphi i}

при изменении

\varphi

можно также наглядно продемонстрировать через производную. Общеизвестно, что

\left({e^{x}}\right)'=e^{x}

\left({e^{f(x)}}\right)'=f'(x)e^{f(x)}

. Этот же факт остаётся верным и для комплексного значения функции. Рассматривая функцию

f(\varphi )=e^{\varphi i}

, получим

f'(\varphi )=if(\varphi )

. Поскольку в геометрическом представлении комплексных чисел умножение на

i

аналогично повороту на 90 градусов, то графическое изображение функции

f(\varphi )=e^{\varphi i}

и её производной будет аналогично чертежу действия центростремительной силы, для которого известен физический смысл.

Показательная формакомплексного числа

Показательная и тригонометрические формы комплексных чисел связаны между собой формулой Эйлера.

Пусть комплексное число

z

в тригонометрической форме имеет вид

z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )

. На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим:

z=re^{i\varphi }

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь

r=|z|

\varphi =\arg z

.

Примечания

Cotes R. Logometria (англ.) // Philosophical Transactions of the Royal Society of London : journal. — 1714-1716. — Vol. 29. — P. 32. — doi:10.1098/rstl.1714.0002. Архивировано 6 июля 2017 года.
Cotes R. Harmonia mensurarum (неопр.). — 1722. — С. 28. Архивировано 7 июня 2020 года.

Литература

Гутов А. З. Аналог формулы Эйлера для обобщённых синуса и косинуса // Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. Орёл, 2006. С. 35—37. Архивная копия от 25 сентября 2020 на Wayback Machine