Меню Главная Случайная статья Настройки Многочлены Лагерра Материал из https://ru.wikipedia.org В математике многочлены Лагерра, названные в честь Эдмона Лагерра (1834—1886), являются каноническими решениями уравнения Лагерра: ${\displaystyle x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0,}$ являющегося линейным дифференциальным уравнением второго порядка. В физической кинетике эти же многочлены (иногда с точностью до нормировки) принято называть полиномами Сонина или Сонина — Лагерра[1]. Многочлены Лагерра также используются в квадратурной формуле Гаусса — Лагерра численного вычисления интегралов вида: ${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }f(x)e^{-x}\,dx.}$ Многочлены Лагерра, обычно обозначающиеся как ${\displaystyle L_{0},\;L_{1},\;\ldots }$, являются последовательностью полиномов, которая может быть найдена по формуле Родрига ${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{n \choose k}x^{k}.}$ Эти полиномы ортогональны друг другу со скалярным произведением: ${\displaystyle \langle f,\;g\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.}$ Последовательность полиномов Лагерра — это последовательность Шеффера. Многочлены Лагерра применяются в квантовой механике, в радиальной части решения уравнения Шрёдингера для атома с одним электроном. Имеются и другие применения многочленов Лагерра. Содержание 1 Несколько первых многочленов 2 Рекуррентная формула 3 Обобщённые полиномы Лагерра 4 Примечания Несколько первых многочленов В следующей таблице приведены несколько первых многочленов Лагерра: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{n}(x)}$ 0 ${\displaystyle 1}$ 1 ${\displaystyle -x+1}$ 2 ${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(x^{2}-4x+2)}$ 3 ${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{6}}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)}$ 4 ${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{24}}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)}$ 5 ${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{120}}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)}$ 6 ${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{720}}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)}$ Рекуррентная формула Полиномы Лагерра можно определить рекуррентной формулой: ${\displaystyle L_{k+1}(x)={\frac {1}{k+1}}{\bigl [}(2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x){\bigr ]},\quad \forall k\geqslant 1,}$ предопределив первые два полинома как: ${\displaystyle L_{0}(x)=1,}$ ${\displaystyle L_{1}(x)=1-x.}$ Обобщённые полиномы Лагерра Обобщённые полиномы Лагерра ${\displaystyle L_{n}^{a}(x)}$ являются решениями уравнения: ${\displaystyle x\,y''+(a+1-x)\,y'+n\,y=0,}$ так что ${\displaystyle L_{n}(x)=L_{n}^{0}(x)}$. Примечания Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Физическая кинетика. — («Теоретическая физика», том X).