Меню Главная Случайная статья Настройки Правило произведения Материал из https://ru.wikipedia.org Правило произведения, или тождество Лейбница, — характерное свойство дифференциальных операторов. Запись этого правила для дифференциала выглядит следующим образом: ${\displaystyle d(u\cdot v)=v\ du+u\ dv}$, а для производной следующим: ${\displaystyle (uv)'=u'v+uv'}$. Содержание 1 Открытие 2 Вариации и обобщения 2.1 Многократная производная 2.2 Градуированная алгебра 2.3 Ассоциативная алгебра 3 См также 4 Примечания Открытие Открытие этого правила приписывается Готфриду Лейбницу, который продемонстрировал его с помощью дифференциалов.[1] Вот аргумент Лейбница: пусть ${\displaystyle u(x)}$ и ${\displaystyle v(x)}$ - две дифференцируемые функции от ${\displaystyle x}$. Тогда дифференциал от ${\displaystyle uv}$ равен: ${\displaystyle d(u\cdot v)=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v}$ ${\displaystyle =u\ dv+v\ du+du\ dv}$ Поскольку произведение ${\displaystyle du\ dv}$ несоизмеримо меньше чем ${\displaystyle du}$ или ${\displaystyle dv}$, Лейбниц пришел к выводу, что: ${\displaystyle d(u\cdot v)=v\ du+u\ dv}$ и это - дифференциальная форма правила произведения. Если мы разделим обе части на дифференциал ${\displaystyle dx}$, то получим: ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}}$ Формула также может быть записана в нотации Лагранжа[2]: ${\displaystyle (u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.}$ Вариации и обобщения Многократная производная Для ${\displaystyle n}$-ой производной существует обобщённая формула Лейбница: ${\displaystyle \left(f\cdot g\right)^{(n)}=\sum \limits _{k=0}^{n}{C_{n}^{k}f^{(n-k)}g^{(k)}},}$ где ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ — биномиальные коэффициенты. Градуированная алгебра Операция ${\displaystyle \delta _{l}\colon \oplus _{k}\Omega ^{k}\to \oplus _{k}\Omega ^{k+l}}$ на градуированной алгебре ${\displaystyle \Omega =\oplus _{k}\Omega ^{k}}$ удовлетворяет градуированному тождеству Лейбница, если для любых ${\displaystyle K\in \Omega ^{k}}$, ${\displaystyle F\in \Omega }$ ${\displaystyle \delta _{l}(K\wedge F)=\delta _{l}(K)\wedge F+(-1)^{kl}K\wedge \delta _{l}(F)}$ где ${\displaystyle \wedge }$ — умножение в ${\displaystyle \Omega }$. Большинство дифференцирований на алгебре дифференциальных форм удовлетворяют этому тождеству. Ассоциативная алгебра В ассоциативной алгебре верно следующее тождество: ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C].}$ Это тождество представляет собой правило Лейбница для оператора ${\displaystyle D_{A}=[A,\cdot ].}$ По этой причине оператор ${\displaystyle D_{A}}$ называют внутренним дифференцированием в алгебре. Аналогичным свойством обладает оператор ${\displaystyle {\tilde {D}}_{A}=[\cdot ,A].}$ Как следствие, ${\displaystyle [A,B_{1}B_{2}\dots B_{n}]=[A,B_{1}]B_{2}\dots B_{n}+}$ ${\displaystyle B_{1}[A,B_{2}]\dots B_{n}+\dots +B_{1}B_{2}\dots [A,B_{n}]}$ См также Правило умножения (комбинаторика) Примечания Michelle Cirillo (Август 2007). Humanizing Calculus. The Mathematics Teacher. 101 (1): 23–27. doi:10.5951/MT.101.1.0023. Архивировано 13 августа 2022. Дата обращения: 4 ноября 2023. Доказательство правила дифференцирования произведения функций  (рус.). Томский Политехнический Университет. Дата обращения: 4 ноября 2023. Архивировано 4 ноября 2023 года.