Меню Главная Случайная статья Настройки Правильный тетраэдр Материал из https://ru.wikipedia.org Тетраэдр называется правильным, если все его грани — равносторонние треугольники. У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны. Содержание 1 Свойства правильного тетраэдра 2 Интересные факты 3 Примечания 4 Литература Свойства правильного тетраэдра Каждая его вершина является вершиной трех равносторонних треугольников. А значит, сумма плоских углов при каждой вершине будет равна ${\displaystyle \pi }$. В правильный тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с серединными треугольниками четырёх граней тетраэдра, а все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра. Правильный тетраэдр с ребром ${\displaystyle x}$ состоит из одного вписанного октаэдра (в центре) с ребром ${\displaystyle {\frac {x}{2}}}$ и четырёх тетраэдров (по вершинам) с ребром ${\displaystyle {\frac {x}{2}}}$. Правильный тетраэдр можно вписать в куб, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба, а все шесть рёбер тетраэдра будут совмещены с диагоналями граней куба. Объём правильного тетраэдра равен ${\displaystyle V={\frac {\sqrt {2}}{12}}a^{3}}$[1] Площадь поверхности равна ${\displaystyle {\sqrt {3}}a^{2}}$[1] Радиус вписанной сферы равен ${\displaystyle {\frac {\sqrt {6}}{12}}a}$[1] Радиус описанной сферы равен ${\displaystyle {\frac {\sqrt {6}}{4}}a}$[1] Радиус полувписанной сферы равен ${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}a}$[1] Высота правильного тетраэдра равна ${\displaystyle {\frac {\sqrt {6}}{3}}a}$ = радиус вписанной сферы + радиус описанной сферы = ${\displaystyle {\frac {\sqrt {6}}{12}}a+{\frac {\sqrt {6}}{4}}a}$ Угол между двумя гранями равен ${\displaystyle \arccos {\frac {1}{3}}\approx 70{,}53^{\circ }}$ Интересные факты Точки в серединах граней правильного тетраэдра являются вершинами правильного тетраэдра. Соотношения: рёбер и высот правильных тетраэдров, радиусов переписанных, описанных и писанных сфер соответственно равны ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$; площадей поверхности равно ${\displaystyle {\frac {1}{9}}}$; объёмов равно ${\displaystyle {\frac {1}{27}}}$. Примечания 1 2 3 4 5 Coxeter, 1948. Литература Harold Scott MacDonald Coxeter. Table I(i) // Regular Polytopes. — Methuen and Co., 1948.