Меню Главная Случайная статья Настройки Праймориал Материал из https://ru.wikipedia.org Праймориал, примориал (англ. Primorial) — в теории чисел функция над рядом натуральных чисел, схожая с функцией факториала, с разницей в том, что праймориал является последовательным произведением простых чисел, меньших или равных данному, в то время как факториал является последовательным произведением всех натуральных чисел, меньших или равных данному. Термин «праймориал» ввёл в научный оборот американский инженер и математик Харви Дабнер[англ.] в 1987 году[1]. Содержание 1 Определение для простых чисел 2 Определение для натуральных чисел 3 Свойства и приложения 4 Аппроксимация 5 Таблица значений 6 Композиториал 7 См. также 8 Примечания 9 Литература Определение для простых чисел Для n-го простого числа pn праймориал pn# определён как произведение первых n простых чисел[2][3]: ${\displaystyle p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k},}$ где pk — k-е простое число. Например, p5# обозначает произведение первых 5 простых чисел: ${\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$ Таким образом, первые шесть праймориалов: 1, 2, 6, 30, 210, 2310 (последовательность A002110 в OEIS, также включает p0# = 1 как пустое произведение[англ.]). Асимптотически праймориалы pn# растут в соответствии с ${\displaystyle p_{n}\#=e^{[1+o(1)]n\log n},}$ где ${\displaystyle o(\cdot )}$ является нотацией «o» малого[3]. Определение для натуральных чисел В общем случае для целого положительного числа n праймориал n# может быть определён как произведение простых чисел, меньших или равных n[2][4]: ${\displaystyle n\#=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#,}$ где ${\displaystyle \pi (n)}$ является функцией распределения простых чисел (последовательность A000720 в OEIS), дающая количество простых чисел n, что эквивалентно ${\displaystyle n\#={\begin{cases}1&{\text{при }}n=1,\\n\times ((n-1)\#)&{\text{при простом }}n>1,\\(n-1)\#&{\text{при составном }}n>1.\end{cases}}}$ Например, 12# представляет собой произведение простых чисел, каждое из которых 12: ${\displaystyle 12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$ Таким образом, ${\displaystyle \pi (12)=5}$ может быть вычислено как ${\displaystyle 12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.}$ Рассмотрим первые 12 праймориалов: 1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310. Мы видим, что для составных чисел каждый член данной последовательности просто дублирует предыдущий. В приведенном выше примере мы имеем, что 12# = p5# = 11#, поскольку 12 является составным числом. Натуральный логарифм n# — это первая функция Чебышева, записанная в виде ${\displaystyle \theta (n)}$ или ${\displaystyle \vartheta (n)}$, что приближается к линейной n для больших значений n[5]. Праймориалы n# растут в соответствии с ${\displaystyle \ln(n\#)\sim n.}$ Свойства и приложения Праймориалы играют важную роль в поиске простых чисел в арифметических прогрессиях из простых чисел. Например, сложение чисел 2236133941 + 23# даёт в результате простое число, начинающее последовательность из тринадцати простых чисел, которые можно получить, последовательно прибавляя 23#, и заканчивающуюся числом 5136341251. 23# является также общей разностью в арифметических прогрессиях из пятнадцати и шестнадцати простых чисел. Каждое многосоставное число можно представить в виде произведения праймориалов (например, 360 = 2 · 6 · 30)[6]. Все праймориалы являются бесквадратными числами, и каждый из них имеет простые делители любого числа меньшего, чем праймориал. Для каждого праймориала n отношение ${\displaystyle \phi (n)/n}$ меньше, чем для любого целого числа, где ${\displaystyle \phi }$ является функцией Эйлера. Каждый праймориал является слабо тотиентным числом[англ.][7]. Аппроксимация Дзета-функция Римана для положительных чисел, больших единицы, может быть выражена[8] с использованием праймориала и функции Жордана ${\displaystyle J_{k}(n)}$: ${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\dots }$ Таблица значений n n# pn pn# 0 1 не существует не существует 1 1 2 2 2 2 3 6 3 6 5 30 4 6 7 210 5 30 11 2310 6 30 13 30030 7 210 17 510510 8 210 19 9699690 9 210 23 223092870 10 210 29 6469693230 11 2310 31 200560490130 12 2310 37 7420738134810 13 30030 41 304250263527210 14 30030 43 13082761331670030 15 30030 47 614889782588491410 16 30030 53 32589158477190044730 17 510510 59 1922760350154212639070 18 510510 61 117288381359406970983270 19 9699690 67 7858321551080267055879090 20 9699690 71 557940830126698960967415390 Композиториал Композиториал числа n в отличие от праймориала является произведением составных чисел, меньших или равных n. Композиториал равен отношению факториала и праймориала числа: ${\displaystyle n!/n\#}$. Первые пятнадцать композиториалов (исключая повторяющиеся значения) равны 1, 4, 24, 192, 1728, 17280, 207360, 2903040, 43545600, 696729600, 12541132800, 250822656000, 5267275776000, 115880067072000[9][10][11]. См. также Праймориальное простое Факториал Примечания Dubner, 1987, pp. 197–203. 1 2 Weisstein, Eric W. Primorial (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. 1 2 последовательность A002110 в OEIS. последовательность A034386 в OEIS. Weisstein, Eric W. Chebyshev Functions (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. A002182 — OEIS  (неопр.). Дата обращения: 5 января 2016. Архивировано 24 декабря 2015 года. On sparsely totient numbers  (неопр.). Дата обращения: 5 января 2016. Архивировано 4 марта 2016 года. Istvn Mez. The Primorial and the Riemann zeta function : [англ.] // The American Mathematical Monthly. — 2013. — Vol. 120. — P. 321. compositorials (англ.). www.numbersaplenty.com. Дата обращения: 1 февраля 2018. Архивировано 24 января 2018 года. последовательность A036691 в OEIS Compositorial - OeisWiki (англ.). oeis.org. Дата обращения: 1 февраля 2018. Архивировано 2 февраля 2018 года. Литература Harvey Dubner. Factorial and primorial primes // Journal of Recreational Mathematics. — 1987. — Vol. 19. — P. 197–203.