Меню Главная Случайная статья Настройки Простой множитель Материал из https://ru.wikipedia.org В теории чисел, простые множители (простые делители) положительного целого числа — это простые числа, которые делят это число нацело (без остатка)[1]. Выделить простые множители положительного целого числа означает перечислить эти простые множители вместе с их кратностями. Процесс определения простых множителей называется факторизацией целых чисел. Основная теорема арифметики утверждает, что любое натуральное число можно представить в виде единственного (с точностью до порядка следования) произведения простых множителей[2]. Чтобы сократить выражение, простые множители часто представляются в виде степеней простых чисел (кратностей). Например ${\displaystyle 360=2\times 2\times 2\times 3\times 3\times 5=2^{3}\times 3^{2}\times 5}$ в котором множители 2, 3 и 5 имеют кратности 3, 2 и 1, соответственно. Для простого множителя р числа n кратность числа p — это наибольший из показателей степени а, для которых ра делит n нацело. Для положительного целого числа n, количество простых множителей n и сумма простых множителей n (без учёта кратности) — это примеры арифметических функций из n (аддитивных арифметических функций[фр.][3]). Содержание 1 Полный квадрат 2 Взаимно простые числа 3 Криптографические приложения 4 Функции Омега 5 См. также 6 Ссылки Полный квадрат Квадрат числа имеет то свойство, что все его простые множители имеют чётные кратности. Например, число 144 (квадрат 12) имеет простые множители ${\displaystyle 144=2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 3=2^{4}\times 3^{2}.}$ В более понятной форме: ${\displaystyle 144=2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 3=(2\times 2\times 3)\times (2\times 2\times 3)=(2\times 2\times 3)^{2}=(12)^{2}.}$ Поскольку каждый простой множитель присутствует здесь чётное число раз, исходное число можно представить в виде квадрата некоторого числа. Таким же образом, куб числа — это число, у которого кратности простых множителей делятся на три, и так далее. Взаимно простые числа Положительные целые числа, не имеющие общих простых множителей, называются взаимно простыми. Два целых числа a и b можно назвать взаимно простыми, если их наибольший общий делитель НОД(a, b) = 1. Если для двух целых чисел неизвестны их простые множители, то для определения того, являются ли они взаимно простыми, используется алгоритм Евклида; алгоритм выполняется за полиномиальное время по количеству цифр. Целое число 1 является взаимно простым для любого положительного целого числа, включая само себя. Иными словами, число 1 не имеет простых множителей, оно — empty product. Это означает, что НОД(1, b) = 1 для любого b 1. Криптографические приложения Определение простых множителей числа — это пример задачи, которая часто используется для обеспечения криптографической защиты в системах шифрования[4]. Предполагается, что эта задача требует супер-полиномиального времени по количеству цифр. Это значит, что относительно легко сконструировать задачу, решение которой заняло бы больше времени, чем известный возраст Вселенной при текущем развитии компьютеров и с помощью современных алгоритмов. Функции Омега Функция (n) (омега) представляет собой число различных простых множителей n, в то время как функция ${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{\omega (n)}p_{i}^{\alpha _{i}},}$ тогда ${\displaystyle \Omega (n)=\sum _{i=1}^{\omega (n)}\alpha _{i}.}$ Например, См. также Составное число Факторизация целых чисел — алгоритмическая проблема нахождения простых множителей заданного числа Делимость Таблица простых множителей Решето Эратосфена Теорема Эрдёша-Каца Криптографическая стойкость Ссылки Jensen, Gary R. Arithmetic for Teachers: With Applications and Topics from Geometry (англ.). — American Mathematical Society, 2004. 1 2