Меню Главная Случайная статья Настройки Преобразование Боголюбова Материал из https://ru.wikipedia.org В теоретической физике преобразование Боголюбова было найдено в 1958 году Николаем Боголюбовым для нахождения решений теории БКШ в однородной системе[1][2] . Преобразование Боголюбова часто используется для диагонализации гамильтонианов, тем самым давая стационарные решения уравнения Шрёдингера. Преобразование Боголюбова также важно для понимания эффекта Унру, излучения Хокинга, эффектов спаривания в ядерной физике. Случай бозонов Рассмотрим каноническое коммутационное соотношение для операторов рождения и уничтожения бозонов ${\displaystyle \left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1~.}$ Определим новую пару операторов ${\displaystyle {\hat {b}}=u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }=u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}~,}$ где второй эрмитово сопряжен с первым. Преобразование Боголюбова — каноническое преобразование, сопоставляющее операторам ${\displaystyle {\hat {a}}}$ и ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ операторы ${\displaystyle {\hat {b}}{\text{ и}}{\hat {b}}^{\dagger }}$. Чтобы найти условия на постоянные u и v, при которых преобразование является каноническим, вычислим коммутатор ${\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]=\left[u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger },u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}\right]=\cdots =\left(|u|^{2}-|v|^{2}\right)\left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right].}$ Очевидно, что ${\displaystyle \,|u|^{2}-|v|^{2}=1}$ — условие, при котором преобразование является каноническим. Постоянные u и v можно представить в виде ${\displaystyle u=e^{i\theta _{1}}\operatorname {ch} r}$ ${\displaystyle v=e^{i\theta _{2}}\operatorname {sh} r~.}$ Случай фермионов Для антикоммутатора ${\displaystyle \left\{{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right\}=1}$, такое же преобразование с u и v приводит к ${\displaystyle \left\{{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right\}=(|u|^{2}+|v|^{2})\left\{{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right\}}$ Чтобы преобразование было каноническим, u и v могут быть представлены в виде ${\displaystyle u=e^{i\theta _{1}}\cos r\,\!}$ ${\displaystyle v=e^{i\theta _{2}}\sin r\,\!.}$ Примечания Valatin, J. G. (Март 1958). Comments on the theory of superconductivity. Il Nuovo Cimento. 7 (6): 843–857. Bibcode:1958NCim....7..843V. doi:10.1007/bf02745589.