Меню Главная Случайная статья Настройки Каноническое преобразование Материал из https://ru.wikipedia.org В гамильтоновой механике каноническое преобразование (также контактное преобразование) — это преобразование канонических переменных, не меняющее общий вид уравнений Гамильтона для любого гамильтониана. Канонические преобразования могут быть введены и в квантовом случае как не меняющие вид уравнений Гейзенберга. Они позволяют свести задачу с определённым гамильтонианом к задаче с более простым гамильтонианом как в классическом, так и в квантовом случае. Канонические преобразования образуют группу. Содержание 1 Определение 2 Производящие функции 2.1 Производящая функция 1-го типа 2.2 Производящая функция 2-го типа 2.3 Производящая функция 3-го типа 2.4 Производящая функция 4-го типа 2.5 Примеры 3 Действие как производящая функция 4 Скобки Пуассона и Лагранжа 5 Литература Определение Преобразования ${\displaystyle Q_{i}=Q_{i}(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots ,p_{s},t),}$ ${\displaystyle P_{i}=P_{i}(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots ,p_{s},t),}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,s,}$, где ${\displaystyle s}$ — число степеней свободы, ${\displaystyle {\frac {\partial (Q_{1},\ldots ,Q_{s};P_{1},\ldots ,P_{s})}{\partial (q_{1},\ldots ,q_{s};p_{1},\ldots ,p_{s})}}\neq 0,}$ называются каноническими, если это преобразование переводит уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона ${\displaystyle H}$: ${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}},}$ ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}=~~{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},}$ в уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$: ${\displaystyle {\dot {P}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial Q_{i}}},}$ ${\displaystyle {\dot {Q}}_{i}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial P_{i}}}.}$ Переменные ${\displaystyle Q_{i}}$ и ${\displaystyle P_{i}}$ называются новыми координатами и импульсами, соответственно, а ${\displaystyle q_{i}}$ и ${\displaystyle p_{i}}$ — старыми координатами и импульсами. Производящие функции Из инвариантности интеграла Пуанкаре — Картана и теоремы Ли Хуа-чжуна о его единственности можно получить: ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{s}P_{i}dQ_{i}-{\mathcal {H}}dt-c\left(\sum \limits _{i=1}^{s}p_{i}dq_{i}-Hdt\right)=-dF,}$ где постоянную ${\displaystyle c\neq 0}$ называют валентностью канонического преобразования, ${\displaystyle dF}$ — полный дифференциал некоторой функции ${\displaystyle F(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots ,p_{s},t)}$ (предполагается, что ${\displaystyle P_{i}}$ и ${\displaystyle Q_{i}}$ также выражены через старые переменные). Она называется производящей функцией канонического преобразования. Канонические преобразования взаимнооднозначно определяются производящей функцией и валентностью. Канонические преобразования для которых ${\displaystyle c=1}$ называется унивалентными. Так как при заданной производящей функции различные ${\displaystyle c}$ изменяют выражения для новых координат через старые, а также для гамильтониана только на константу, то часто рассматривают только унивалентные канонические преобразования. Производящая функция часто может быть выражена не через старые координаты и импульсы, а через любые две из четырёх переменных ${\displaystyle p_{i},q_{i},Q_{i},P_{i}}$, причём выбор независим для каждого ${\displaystyle i=1,\cdots ,s}$. Удобным оказывается выразить её так, чтобы для каждого ${\displaystyle i}$ одна переменная была новой, а другая старой. Существует лемма, утверждающая, что это можно сделать всегда. Дифференциал функции ${\displaystyle F}$ имеет явный вид полного дифференциала в том случае, когда она выражена через старые и новые координаты ${\displaystyle F=F(q,p(q,Q,t),t)=F_{1}(q,Q,t)}$. При использовании других пар координат удобно перейти к функциям, дифференциал которых будет иметь явный вид полного дифференциала для соответствующих переменных. Для этого нужно сделать преобразования Лежандра исходной функции ${\displaystyle F}$. Полученные функции называют производящими функциями канонического преобразования в соответствующих координатах. В случае когда выбор координат одинаков для всех ${\displaystyle i}$ возможны четыре варианта выбора переменных, соответствующие функции принято обозначать номерами: ${\displaystyle F_{1}(q,Q,t),\;F_{2}(q,P,t),\;F_{3}(p,Q,t),\;F_{4}(p,P,t),}$ где для простоты введены векторы старых координат и импульсов ${\displaystyle q=(q_{1},\cdots ,q_{2})}$ ${\displaystyle p=(p_{1},\cdots ,p_{2})}$, аналогично и для новых координат и импульсов. О таких производящих функциях говорят как о производящих функциях 1-го, 2-го, 3-го или 4-го типа соответственно. Производящая функция 1-го типа Пусть ${\displaystyle F_{1}(q,Q,t)}$ — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени: ${\displaystyle \det \left({\frac {\partial ^{2}F_{1}}{\partial q\,\partial Q}}\right)\neq 0,}$ кроме того, задано некоторое число ${\displaystyle c\neq 0}$, тогда пара ${\displaystyle (F_{1},c)}$ задаёт каноническое преобразование по правилу ${\displaystyle p={\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{1}}{\partial q}},}$ ${\displaystyle P=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{1}}{\partial t}}.}$ Связь с исходной производящей функцией: ${\displaystyle F_{1}(q,Q,t)=F(q,p(q,Q,t),t).}$ Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан: ${\displaystyle \det \left({\frac {\partial Q}{\partial p}}\right)\neq 0.}$ Канонические преобразования, дополненные этим условием называют свободными. Производящая функция 2-го типа Пусть ${\displaystyle F_{2}(q,P,t)}$ — произвольная невырожденная функция старых координат, новых импульсов и времени: ${\displaystyle \det \left({\frac {\partial ^{2}F_{2}}{\partial q\,\partial P}}\right)\neq 0.}$ кроме того, задано некоторое число ${\displaystyle c\neq 0}$, тогда пара ${\displaystyle (F_{2},c)}$ задаёт каноническое преобразование по правилу ${\displaystyle p={\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{2}}{\partial q}},}$ ${\displaystyle Q={\frac {\partial F_{2}}{\partial P}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{2}}{\partial t}}.}$ Связь с исходной производящей функцией: ${\displaystyle F_{2}(q,P,t)=F(q,p(q,P,t),t)+PQ(q,p(q,P,t),t).}$ Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан: ${\displaystyle \det \left({\frac {\partial P}{\partial p}}\right)\neq 0.}$ Производящая функция 3-го типа Пусть ${\displaystyle F_{3}(p,Q,t)}$ — произвольная невырожденная функция старых импульсов, новых координат и времени: ${\displaystyle \det \left({\frac {\partial ^{2}F_{3}}{\partial p\,\partial Q}}\right)\neq 0.}$ кроме того, задано некоторое число ${\displaystyle c\neq 0}$, тогда пара ${\displaystyle (F_{3},c)}$ задаёт каноническое преобразование по правилу ${\displaystyle q=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{3}}{\partial p}},}$ ${\displaystyle P=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{3}}{\partial t}}.}$ Связь с исходной производящей функцией: ${\displaystyle F_{3}(p,Q,t)=F(q(p,Q,t),p,t)-cpq(p,Q,t).}$ Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан: ${\displaystyle \det \left({\frac {\partial Q}{\partial q}}\right)\neq 0.}$ Производящая функция 4-го типа Пусть ${\displaystyle F_{4}(p,P,t)}$ — произвольная невырожденная функция старых импульсов, новых импульсов и времени: ${\displaystyle \det \left({\frac {\partial ^{2}F_{4}}{\partial p\,\partial P}}\right)\neq 0.}$ кроме того, задано некоторое число ${\displaystyle c\neq 0}$, тогда пара ${\displaystyle (F_{4},c)}$ задаёт каноническое преобразование по правилу ${\displaystyle q=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{4}}{\partial p}},}$ ${\displaystyle Q={\frac {\partial F_{4}}{\partial P}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{4}}{\partial t}}.}$ Связь с исходной производящей функцией: ${\displaystyle F_{4}(p,P,t)=F(q(p,P,t),p,t)+PQ(q(p,P,t),p,t)-cpq(p,P,t).}$ Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан: ${\displaystyle \det \left({\frac {\partial P}{\partial q}}\right)\neq 0.}$ Примеры 1. Тождественное преобразование ${\displaystyle Q=q,}$ ${\displaystyle P=p,}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}=H}$ может быть получено при: ${\displaystyle F_{2}=qP,\quad c=1.}$ 2. Если задать ${\displaystyle F_{1}=-\beta qQ,\quad c=-\alpha \beta ,}$ то полученное преобразование будет иметь вид: ${\displaystyle Q=\alpha p,}$ ${\displaystyle P=\beta q.}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}=-\alpha \beta H}$ Таким образом, разделение канонических переменных на координаты и импульсы с математической точки зрения является условным. 3. Преобразование инверсии ${\displaystyle Q=-q,}$ ${\displaystyle P=-p,}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}=H}$ может быть получено при: ${\displaystyle F_{2}=-qP,\quad c=1.}$ 4. Точечные преобразования (преобразования при которых новые координаты выражаются только через старые координаты и время, но не старые импульсы.) Они всегда могут быть заданы с помощью: ${\displaystyle F_{2}=\varphi (q,t)P,\quad c=1,}$ тогда ${\displaystyle Q=\varphi (q,t).}$ В частности, если ${\displaystyle F_{2}=(Aq,P),\quad c=1,}$ где ${\displaystyle A,}$ — ортогональная матрица: ${\displaystyle A^{T}A=E,}$ то ${\displaystyle Q=Aq,}$ ${\displaystyle P=A^{T}p.}$ К точечным преобразования приводит и функция: ${\displaystyle F_{3}=\phi (Q,t)p,\quad c=1,}$ тогда ${\displaystyle q=-\phi (Q,t).}$ В частности функция ${\displaystyle F_{3}=-p_{x}\rho \cos \varphi -p_{y}\rho \sin \phi -p_{z}z,\quad c=1,}$ задаёт переход от декартовых координат к цилиндрическим. 5. Линейные преобразования переменных ${\displaystyle (p,q)}$ системы с одной степенью свободы: ${\displaystyle Q=\alpha q+\beta p}$ ${\displaystyle P=\gamma q+\delta p}$ является унивалентным каноническим преобразованием при ${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =1,}$ производящая функция: ${\displaystyle F=-\beta \gamma pq-{\frac {1}{2}}\alpha \gamma q^{2}-{\frac {1}{2}}\beta \delta p^{2}.}$ Такие преобразования образуют специальную линейную группу ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$. Действие как производящая функция Действие, выраженное как функция координат и импульсов конечной точки ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int pdq-Hdt}$ задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы. Скобки Пуассона и Лагранжа Необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Пуассона: ${\displaystyle \lbrace P_{i}(q,p,t),P_{k}(q,p,t)\rbrace =0,}$ ${\displaystyle \lbrace Q_{i}(q,p,t),Q_{k}(q,p,t)\rbrace =0,}$ ${\displaystyle \lbrace Q_{i}(q,p,t),P_{k}(q,p,t)\rbrace =c\delta _{ik}.}$ Кроме того, необходимым и достаточным условием каноничности преобразования является выполнение для произвольных функций ${\displaystyle f(Q,P,t)}$ и ${\displaystyle g(Q,P,t)}$ условия: ${\displaystyle \lbrace f,g\rbrace _{pq}=c\lbrace f,g\rbrace _{PQ},}$ где под ${\displaystyle \lbrace \cdot ,\cdot \rbrace _{pq}}$ и ${\displaystyle \lbrace \cdot ,\cdot \rbrace _{PQ}}$ понимаются скобки Пуассона по старым и новым координатам соответственно. В случае унивалентных канонических преобразований: ${\displaystyle \lbrace f,g\rbrace _{pq}=\lbrace f,g\rbrace _{PQ}}$ и говорят, что скобки Пуассона инвариантны относительно таких преобразований. Иногда канонические преобразования так определяют (при этом каноническими преобразованиями считают только унивалентные). Аналогично, необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Лагранжа: ${\displaystyle [p_{i},p_{k}]=0,}$ ${\displaystyle [q_{i},q_{k}]=0,}$ ${\displaystyle [q_{i},p_{k}]=c\delta _{ik}.}$ Литература Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5. Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ