Ru.Wikipedia.Org - Преобразование Фолди

Меню
Главная
Случайная статья
Настройки

Преобразование Фолди — Ваутхайзена
Материал из https://ru.wikipedia.org

Преобразование Фолди — Ваутхайзена (представление Фолди — Ваутхайзена^{[К 1]}, преобразование ФВ, преобразование FW^[7])^[3]^[2] — унитарное преобразование, которое позволяет представить уравнение Дирака (для биспиноров) в виде пары двухкомпонентных уравнений (спиноров), которые в нерелятивистском пределе переходят в уравнение Паули и уравнение для отрицательных энергий^[8]. В представлении ФВ соотношения между операторами динамических величин аналогичны соотношениям для классических величин (координаты, испульсы, скорости)^[9]^[10]. Имело историческое значение, применялось для решения парадоксов, возникающих в теории Дирака, и интерпретации операторов координаты, скорости, спина, момента импульса^[11]^[12].

Было сформулировано Лесли Лоуренсом Фолди и Зигфридом Адольфом Ваутхайзеном в 1949 году для понимания нерелятивистского предела уравнения Дирака, уравнения для частиц со спином 1/2^[13]^[14]^[15]^[16]. Подробное общее обсуждение преобразований типа Фолди — Ваутхайзена при интерпретации частиц, описываемых релятивистскими волновыми уравнениями, содержится в статье Р. Ачарье и Дж. Сударшана (1960)^[17]. Его полезность в физике высоких энергий в настоящее время ограничена из-за того, что основные приложения находятся в ультрарелятивистской области, где поле Дирака рассматривается как квантованное поле.

Содержание

Уравнение Дирака

Уравнение Дирака для свободной частицы со спином 1/2 записывают в виде (здесь и далее скорость света приравнена к 1)^[18]

({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta m)\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\,

где

\alpha \,,\beta

— эрмитовы матрицы Дирака размера 4 4, которые должны антикоммуритовать {_i,_j} = 2_ij,

ля покоящейся частицы

Описание

Преобразование Фолди — Ваутхайзена (ФВ) представляет собой унитарное преобразование фермионной волновой функции вида^[1]^[31]

\psi \to \psi '=U_{FW}\psi \,,

(1)

где унитарный оператор — это 4 4 матрица^[32]^[33]

U_{FW}=e^{\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\theta }=\mathbb {I} _{4}\cos \theta +\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\sin \theta =e^{{\boldsymbol {\gamma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\theta }=\mathbb {I} _{4}\cos \theta +{\boldsymbol {\gamma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\sin \theta \,,

(2)

где

\mathbb {I} _{4}

— единичная матрица,

{\hat {p}}^{i}\equiv p^{i}/|\mathbf {p} |

— единичный вектор, ориентированный в направлении импульса фермиона^[33]. Вышеупомянутое связано с матрицами Дирака соотношениями

U_{FW}^{-1}=e^{-\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\theta }=\mathbb {I} _{4}\cos \theta -\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\sin \theta \,,

поэтому

Преобразование гамильтониана Дирака для свободного фермиона

Это преобразование представляет особый интерес применительно к гамильтониану Дирака со свободными частицами^[34]

{\hat {H}}_{0}\equiv {\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta m

— биунитарно, в виде^[32]^[35]

{\begin{aligned}{\hat {H}}_{0}\to {\hat {H}}'_{0}&\equiv U_{FW}{\hat {H}}_{0}U_{FW}^{-1}\\&=U_{FW}({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta m)U_{FW}^{-1}\\&=(\cos \theta +\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\sin \theta )({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta m)(\cos \theta -\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\sin \theta )\,.\end{aligned}}

(3)

Используя свойства коммутативности матриц Дирака, это можно преобразовать в выражение удвоенного угла

{\begin{aligned}{\hat {H}}'_{0}&=({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta m)(\cos \theta -\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\sin \theta )^{2}\\&=({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta m)e^{-2\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\theta }\\&=({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta m)(\cos 2\theta -\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\sin 2\theta )\,,\end{aligned}}

(4)

которое после сокращений приводится к виду^[36]

{\hat {H}}'_{0}={\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} \left(\cos 2\theta -{\frac {m}{|\mathbf {p} |}}\sin 2\theta \right)+\beta (m\cos 2\theta +|\mathbf {p} |\sin 2\theta )\,.

(5)

Выбор конкретного представления: Ньютон — Вигнер

Преобразование ФВ является непрерывным, то есть можно использовать любое значение

\tan 2\theta \equiv {\frac {|\mathbf {p} |}{m}}\,,

(6)

так что (5) сводится к диагонализованному (это предполагает, что берётся в представлении Дирака — Паули (Поля Дирака, Вольфганга Паули), в котором это матрица диагональна)

{\hat {H}}'_{0}=\beta (m\cos 2\theta +|\mathbf {p} |\sin 2\theta )\,.

(7)

После тригонометрических преобразований, (6) также подразумевает, что

\sin 2\theta ={\frac {|\mathbf {p} |}{\sqrt {m^{2}+|\mathbf {p} |^{2}}}}\quad {\text{и}}\quad \cos 2\theta ={\frac {m}{\sqrt {m^{2}+|\mathbf {p} |^{2}}}}\,,

(8)

так что использование (8) в (7) теперь приводит к следующему сокращению^[36]

{\hat {H}}'_{0}=\beta {\sqrt {m^{2}+|\mathbf {p} |^{2}}}\,.

(9)

До того, как Фолди и Ваутхайзен опубликовали своё преобразование, уже было известно, что (9) является гамильтонианом в представлении Ньютона — Вигнера (НВ) (названном в честь Теодора Дадделла Ньютона и Юджина Вигнера) уравнения Дирака. Таким образом, (9) говорит о том, что, применяя преобразование ФВ к представлению Дирака — Паули уравнения Дирака, а затем выбирая параметр непрерывного преобразования так, чтобы диагонализировать гамильтониан, то можно прийти к НВ-представлению уравнения Дирака, потому что НВ само уже содержит гамильтониан, указанный в (9)^[37].

Если рассматривать массу на оболочке — фермионную или иную — заданную выражением m² = pp и использовать метрический тензор Минковского, для которого diag() = (+1, 1, 1, 1), то выражение

p^{0}={\sqrt {m^{2}+|\mathbf {p} |^{2}}}

эквивалентно компоненте E p⁰ 4-импульса p, так что (9) альтернативно определяется как

{\hat {H}}_{0}^{'}=\beta E

^[36].

Соответствие между представлениями Дирака — Паули и Ньютона — Вигнера для покоящегося фермиона

Пусть фермион покоится, что означает фермион, для которого

|{\textbf {p}}|=0

. Для (6) или (8) это означает, что cos 2 = 1, так что = 0, ±, ±2, а для (2) — что унитарный оператор U = ±I. Следовательно, любой оператор O в представлении Дирака — Паули, над которым выполняется биунитарное преобразование, для покоящегося фермиона будет иметь вид

O\to O'\equiv UOU^{-1}=(\pm I)(O)(\pm I)=O\,.

(10)

В отличие от исходного гамильтониана Дирака — Паули

{\hat {H}}_{0}\equiv {\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta m

с гамильтонианом НВ (9) находится

|{\textbf {p}}|=0

«в покое» соответствует

{\hat {H}}_{0}={\hat {H}}'_{0}=\beta m\,.

(11)

Преобразование оператора скорости

В представлении Дирака — Паули

Для получения оператора скорости в представлении Дирака — Паули необходимо вычислить коммутатор канонических операторов координат

{\hat {x}}_{i}

с гамильтонианом

{\hat {H}}_{0}

^[22]

{\hat {v_{i}}}\equiv {\frac {d{\hat {x}}_{i}}{dt}}=i\left[{\hat {H}}_{0},{\hat {x}}_{i}\right]\,.

Подставляя гамильтониан в явном виде и используя канонические коммутационные соотношения получается

{\hat {v_{i}}}={\hat {\alpha }}_{i}\,.

(12)

Собственные значения оператора

{\hat {\alpha }}_{i}

равны ±1, что соответствует собственным значениям операторов компонент скорости света ±c, хотя в действительности скорость может принимать любые значения в промежутке от c до +c. Операторы

{\hat {\alpha }}_{i}

также не коммутируют между собой, что означет принципиальную невозможность одновременно измерить две любые компоненты скорости. Кроме того, в представлении Дирака — Паули, для понятий скорости и импульса отсутствуют обычные, аналогичные существующим в релятивистской классической механике связи между операторами скорости и импульса. А именно, вышеприведённое соотношение не принимает нерелятивистский аналог выражения для скорости

{\hat {v_{i}}}={\hat {p}}_{i}/m_{i}\,.

Отличие понятий скорости и импульса в теории Дирака непосредственно связаны с интерференцией состояний с различными знаками энергии^[22].

Полное решение уравнения Дирака для свободной частицы представляет собой линейную суперпозипию состояний с разными знаками энергии

\xi =\pm 1

. Для состояния в виде суперпозиции двух стационарных состояний с одинаковыми квантовыми числами, но с разными знаками энергии

\xi =\pm 1

^[38]

\Psi ({\textbf {r}},t)=A_{1}e^{-iEt}\psi (+)+A_{2}e^{iEt}\psi (-)\,,

где A₁ и A₂ — амплитуды, а решения (+) и () — ортогональны. Ток вероятности зависит от времени

\langle {\textbf {j}}\rangle =\int \Psi ^{+}({\textbf {r}},t){\hat {\alpha }}\Psi ({\textbf {r}},t)=\int d^{3}x\left[|A_{1}|^{2}\psi ^{+}(+){\hat {\alpha }}\psi (+)+|A_{2}|^{2}\psi ^{+}(-){\hat {\alpha }}\psi (-)\right]+{\textbf {j}}_{zb}(t)\,,

где

{\textbf {j}}_{zb}(t)=\int d^{3}x\left[A_{1}^{*}A_{2}\psi ^{+}(+){\hat {\alpha }}\psi (-)e^{2iEt}+A_{2}^{*}A_{1}\psi ^{+}(-){\hat {\alpha }}\psi (+)e^{-2iEt}\right]

(13)

определяет колебательное движение, известное как «дрожащее движение»^[38]. Это слагаемое осложняет одночастичную интепретацию полученного результата, что физиченски означает влияние эффектов рождения виртуальных (и реальных) электронно-дырочных пар при приближении к электрону на расстояние меньше чем комптоновский радиус^[39].

В представлении Ньютона — Вигнера

Теперь в представлении Ньютона — Вигнера можно вычислить оператор координаты

{\hat {x}}_{FW}

. Для выбранного оператора преобразования Фолди — Ваутхайзена в виде^[36]

e^{\pm iS}={\frac {E_{p}+m\pm {\hat {\beta }}({\hat {\alpha }}{\hat {\textbf {p}}})}{\sqrt {2E_{p}(E_{p}+m)}}}\,.

(14)

оператор коорднинаты представляется в виде^[40]

{\hat {\textbf {x}}}_{FW}={\hat {U}}_{FW}{\hat {\textbf {x}}}{\hat {U}}_{FW}^{-1}={\hat {\textbf {x}}}+{\hat {U}}_{FW}\left[{\hat {\textbf {x}}},{\hat {U}}_{FW}^{-1}\right]\,,

где используется определение коммутатора

\left[{\hat {x}}_{k},{\hat {U}}_{FW}^{-1}\right]=i{\frac {\partial }{\partial {\hat {p}}_{k}}}\left({\hat {U}}_{FW}^{-1}\right)\,.

Вычисления дают следующее выражение^[40]

{\hat {\textbf {x}}}_{FW}={\hat {\textbf {x}}}-{\frac {\left[{\hat {\Sigma }}{\hat {\textbf {p}}}\right]}{2E_{p}(E_{p}+m)}}-{\frac {i{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}}{2E_{p}}}+{\frac {i{\hat {\beta }}\left({\hat {\alpha }}{\hat {\textbf {p}}}\right)}{2E_{p}(E_{p}+m)}}\cdot {\frac {\hat {\textbf {p}}}{E_{p}}}\,,

(15)

которое можно разбить на два оператора. Первые два слагаемые в (15) отвечают за чётную часть оператора и соответствует оператору «среднего положения». Последние слагаемые отвечают за дрожащее движение и нечётную часть оператора^[40]. В нерелятивистском пределеле оператор среднего положения соответствует обычной координате^[41]. Возможно выбрать координату в представлении Паули — Дирака таким образом, чтобы он принял вид

{\hat {\textbf {x}}}

^[42]

{\hat {\textbf {X}}}=e^{-i{\hat {S}}}{\hat {\textbf {x}}}e^{i{\hat {S}}}={\hat {\textbf {x}}}-{\frac {\left[{\hat {\Sigma }}{\hat {\textbf {p}}}\right]}{2E_{p}(E_{p}+m)}}+{\frac {i{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}}{2E_{p}}}-{\frac {i{\hat {\beta }}\left({\hat {\alpha }}{\hat {\textbf {p}}}\right)}{2E_{p}(E_{p}+m)}}\cdot {\frac {\hat {\textbf {p}}}{E_{p}}}\,,

(16)

который обладает следующими свойствами:

\left[{\hat {X}}_{j},{\hat {X}}_{k}\right]=0\,;\quad \left[{\hat {X}}_{j},{\hat {p}}_{k}\right]=i\delta _{jk}\,.

Скорость или производная этого оператора по времени определяется соглавно^[42]^[43]

{\frac {d}{dt}}{\hat {\textbf {X}}}=i\left[{\hat {H}},{\hat {\textbf {X}}}\right]={\frac {\hat {\textbf {p}}}{E_{p}}}{\hat {\Lambda }}\,.

Операторы динамических переменных в старом и новом представлениях^[13]
Динамическая переменная	Операторы в старом представлении	Операторы в новом представлении
Положение	$\mathbf {x}$	$\mathbf {x} '=\mathbf {x} -{\frac {i\beta {\boldsymbol {\alpha }}}{2E_{p}}}+{\frac {i\beta ({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} )\mathbf {p} -[{\boldsymbol {\sigma }}\times \mathbf {p} ]p}{2E_{p}(E_{p}+m)p}}$
Импульс	$\mathbf {p} \equiv (\hbar /i)\nabla$	$\mathbf {p} '=\mathbf {p}$
Гамильтониан	$H=\beta m+{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p}$	$H'=\beta (m^{2}+p^{2})^{1/2}\equiv \beta E_{p}$
Скорость	${\boldsymbol {\alpha }}={\dot {\mathbf {x} }}$	${\boldsymbol {\alpha }}'={\boldsymbol {\alpha }}+{\frac {\beta \mathbf {p} }{E_{p}}}-{\frac {({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} )\mathbf {p} }{E_{p}(E_{p}+m)}}$
	$\beta$	$\beta '={\frac {m\beta -{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} }{E_{p}}}$
Орбитальный угловой момент	$[\mathbf {x} \times \mathbf {p} ]$	$[\mathbf {x} '\times \mathbf {p} ]$
Спиновый угловой момент	${\boldsymbol {\sigma }}\equiv {\frac {1}{2i}}[{\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\alpha }}]$	${\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\sigma }}+{\frac {i\beta [{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {p} ]}{E_{p}}}-{\frac {\mathbf {p} \times [{\boldsymbol {\sigma }}\times \mathbf {p} ]}{E_{p}(E_{p}+m)}}$
Среднее положение	$\mathbf {X} =\mathbf {x} +{\frac {i\beta {\boldsymbol {\alpha }}}{2E_{p}}}-{\frac {i\beta ({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} )\mathbf {p} +[{\boldsymbol {\sigma }}\times \mathbf {p} ]p}{2E_{p}(E_{p}+m)p}}$	$\mathbf {X} '=\mathbf {x}$
Средняя скорость	${\dot {\mathbf {X} }}={\frac {\mathbf {p} }{E_{p}}}\cdot \left\{{\frac {\beta m+{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} }{E_{p}}}\right\}$	${\dot {\mathbf {X} }}'={\frac {\beta \mathbf {p} }{E_{p}}}$
Средний орбитальный угловой момент	$[\mathbf {X} \times \mathbf {p} ]$	$[\mathbf {X} '\times \mathbf {p} ]=[\mathbf {x} \times \mathbf {p} ]$
Средний спиновый угловой момент	${\boldsymbol {\Sigma }}={\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {i\beta [{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {p} ]}{E_{p}}}-{\frac {[\mathbf {p} \times [{\boldsymbol {\sigma }}\times \mathbf {p} ]]}{E_{p}(E_{p}+m)}}$	${\boldsymbol {\Sigma }}'={\boldsymbol {\sigma }}$
Знаковый оператор^[44]	$\Lambda _{p}\equiv {\frac {\beta m+{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} }{E_{p}}}$	$\Lambda _{p}'=\beta$

Другие приложения

Преобразование Фолди — Ваутхайзена, первоначально разработанное для уравнения Дирака, нашло применение во многих ситуациях, таких как акустика и оптика. Оно нашло применение в самых разных областях, таких как атомные системы^[45]^[46] синхротронное излучение^[47] и вывод уравнения Блоха для поляризованных пучков^[48]. Применение преобразования Фолди — Ваутхайзена в акустике весьма естественно; учитывает полноту и математическую строгость^[49]^[50]^[51].

В традиционной схеме цель разложения оптического гамильтониана

{\hat {H}}=-\left(n^{2}(r)-{\hat {p}}_{\perp }^{2}\right)^{\frac {1}{2}}

в ряд с использованием

{\hat {p}}_{\perp }^{2}/n_{0}^{2}

в качестве параметра разложения следует понимать распространение квазипараксиального луча с точки зрения ряда приближений (параксиальных и непараксиальных). Аналогично обстоит дело и в оптике заряженных частиц. В релятивистской квантовой механике возникает аналогичная проблема понимания релятивистских волновых уравнений как нерелятивистского приближения плюс релятивистские поправочные члены в квазирелятивистском режиме. Для уравнения Дирака (первого порядка по времени) это удобнее всего делать с помощью преобразования Фолди — Ваутхайзена, приводящего к итерационному методу диагонализации. Основной метод недавно разработанных формализмов оптики (как световой оптики, так и оптики заряженных частиц) основан на методе преобразования теории Фолди — Ваутхайзена, который приводит уравнение Дирака к форме, отображающей различные члены взаимодействия между частицей Дирака и частицей Дирака. прикладное электромагнитное поле в нерелятивистской и легко интерпретируемой форме.

В теории Фолди — Ваутхайзена уравнение Дирака посредством канонического преобразования разделяется на два двухкомпонентных уравнения: одно сводится к уравнению Паули^[52] в нерелятивистском пределе, а другое описывает состояния с отрицательной энергией. Можно написать матричное представление уравнений Максвелла в стиле Дирака. В такой матричной форме можно применить метод Фолди — Ваутхайзена^[53]^[54]^[55]^[56]^[57].

Существует тесная алгебраическая аналогия между уравнением Гельмгольца (определяющим скалярную оптику) и уравнением Клейна — Гордона; и между матричной формой уравнений Максвелла (определяющих векторную оптику) и уравнением Дирака. Поэтому вполне естественно использовать мощный аппарат стандартной квантовой механики (в частности, преобразование Фолди — Ваутхайзена) при анализе этих систем.

Эта идея была использована для анализа квазипараксиальных приближений для конкретной лучевой оптической системы^[58]. Метод Фолди — Ваутхайзена идеально подходит для алгебраического подхода Ли в оптике. Несмотря на все эти плюсы, а также мощное и недвусмысленное расширение, преобразование Фолди — Ваутхайзена до сих пор мало используется в оптике. Метод преобразования Фолди — Ваутхайзена приводит к так называемым нетрадиционным методам в оптике Гельмгольца^[59] и оптики Максвелла^[60]. Нетрадиционные подходы приводят к очень интересным зависящим от длины волны модификациям параксиального и аберрационного поведения. Нетрадиционный формализм оптики Максвелла обеспечивает единую основу оптики светового пучка и поляризации. Нетрадиционные методы геометрической оптики во многом аналогичны квантовой теории оптики пучков заряженных частиц^[61]^[62]^[63]^[64]. В оптике это позволило увидеть более глубокие связи в зависимости от длины волны между оптикой света и оптикой заряженных частиц^[65]^[66].

Примечания

Комментарии

Написание фамилии нидерландского учёного встречается в переведённых учебниках в разных вариациях. Ваутхайзен фигурирует в учебниках Бьёркена Дж. Д. и Дрелла С. Д.^[1], Ициксона К.^[англ.], Зюбера Ж.-Б.^[англ.]^[2]. Тернов А. И. также использовал форму Ваутхайзен^[3]. Форма Вутхайзен встречается в книгах Барабанова А. Л.^[4] и Айзенберга И.^[нем.] и Грайнера В.^[5]. Переводчик учебника Швебера С. использовал форму Вотхойзен^[6].
Гамильтониан после преобразования представляет собой блочно-диагональный вид. Те операторы, которые не смешивают разные блоки, отвечающие за спиноры, называются чётными, а смешивающие верхние и нижние спиноры — нечётными^[23].

Источники

¹ ² ³ Бьёркен и Дрелл, т. 1, 1978, с. 53.
¹ ² Ициксон, Зюбер, 1984, с. 90.
¹ ² Тернов, 2002, с. 67.
Барабанов, 2010, с. 485.
Айзенберг, Грайнер, 1973, с. 190.
Швебер, 1963, с. 98.
Незнамов В. П. К теории взаимодействующих полей в представлении Фолди-Ваутхайзена // Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 2006. — Т. 37. — С. 151—182. Архивировано 9 октября 2006 года.
¹ ² Тернов, 2002, с. 68.
Силенко А. Я. Сравнительный анализ методов прямого и “шаг за шагом” преобразования Фолди–Ваутхойзена // Теоретическая и математическая физика. — 2013. — Т. 176. — С. 189—204. — doi:10.4213/tmf8468.
Силенко, 2013, с. 190.
Незнамов, 2006, с. 155.
Тернов, 2002, с. 73—76.
¹ ² Foldy, L. L.; Wouthuysen, S. A. (1950). On the Dirac Theory of Spin 12 Particles and its Non-Relativistic Limit (PDF). Physical Review. 78: 29–36. doi:10.1103/PhysRev.78.29. Архивировано (PDF) 7 августа 2024. Дата обращения: 2 июля 2024.
Foldy, L. L. (1952). The Electromagnetic Properties of the Dirac Particles. Physical Review. 87 (5): 688–693. doi:10.1103/PhysRev.87.688.
Pryce, M. H. L. (1948). The mass-centre in the restricted theory of relativity and its connexion with the quantum theory of elementary particles. Proceedings of the Royal Society of London A. 195 (1040): 62–81. doi:10.1098/rspa.1948.0103.
¹ ² Tani, S. (1951). Connection between particle models and field theories. I. The case spin 12. Progress of Theoretical Physics. 6: 267–285. doi:10.1143/ptp/6.3.267.
Acharya, R.; Sudarshan, E. C. G. (1960). Front Description in Relativistic Quantum Mechanics. Journal of Mathematical Physics. 1 (6): 532–536. doi:10.1063/1.1703689.
Тернов, 2002, с. 18.
Тернов, 2002, с. 19.
Тернов, 2002, с. 55.
Тернов, 2002, с. 56.
¹ ² ³ Тернов, 2002, с. 57.
Силенко, 2013, с. 191.
Brown, R. W.; Krauss, L. M.; Taylor, P. L. (2001). Obituary of Leslie Lawrence Foldy. Physics Today. 54 (12): 75. doi:10.1063/1.1445566.
Halpern, L. (1997). Obituary of Siegfried A Wouthuysen. Physics Today. 50: 89. doi:10.1063/1.882018.
Foldy, L. L. Origins of the FW Transformation: A Memoir // Physics at a Research University: Case Western Reserve University 1830–1990 / Fickinger. — 2006. — P. 347–351. Архивная копия от 29 мая 2016 на Wayback Machine
Бьёркен и Дрелл, т. 1, 1978, с. 57.
Costella, J. P.; McKellar, B. H. J. (1995). The Foldy–Wouthuysen transformation. American Journal of Physics. 63: 1119–1124. arXiv:hep-ph/9503416. doi:10.1119/1.18017. S2CID 16766114.
Case, K. M. (1954). Some generalizations of the Foldy–Wouthuysen transformation. Physical Review. 95: 1323–1328. doi:10.1103/PhysRev.95.1323.
Jayaraman, J. (1975). A note on the recent Foldy–Wouthuysen transformations for particles of arbitrary spin. Journal of Physics A. 8: L1–L4. doi:10.1088/0305-4470/8/1/001.
Foldy, Wouthuysen, 1950, p. 30.
¹ ² Foldy, Wouthuysen, 1950, p. 31.
¹ ² Тернов, 2002, с. 69—70.
Foldy, Wouthuysen, 1950, p. 29.
Швебер, 1963, с. 99.
¹ ² ³ ⁴ ⁵ Тернов, 2002, с. 70.
Costella, J. P.; McKellar, B. H. J. (1995). The Foldy–Wouthuysen transformation. American Journal of Physics. 6: 1119–1121. doi:10.1119/1.18017.{{cite journal}}: Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) (ссылка)
¹ ² Тернов, 2002, с. 58.
Тернов, 2002, с. 59.
¹ ² ³ Тернов, 2002, с. 73.
Тернов, 2002, с. 74.
¹ ² Тернов, 2002, с. 75.
Тернов, 2002, с. 76.
Тернов, 2002, с. 51.
Asaga, T.; Fujita, T.; Hiramoto, M. (2000). EDM operator free from Schiff's theorem. Progress of Theoretical Physics. 106 (6): 1223–1238. arXiv:hep-ph/0005314. doi:10.1143/PTP.106.1223. S2CID 17118044.
Pachucki, K. (2004). Higher-order effective Hamiltonian for light atomic systems. Physical Review A. 71 (1): 012503. arXiv:physics/0411168. doi:10.1103/PhysRevA.71.012503. S2CID 5376899.
Lippert, M.; Bruckel, Th.; Kohler, Th.; Schneider, J. R. (1994). High-Resolution Bulk Magnetic Scattering of High-Energy Synchrotron Radiation. Europhysics Letters. 27 (7): 537–541. doi:10.1209/0295-5075/27/7/008. S2CID 250889471.
Heinemann, K. The semiclassical Foldy–Wouthuysen transformation and the derivation of the Bloch equation for spin-12 polarized beams using Wigner functions // Proceedings of the 15th Advanced ICFA Beam Dynamics Workshop on Quantum Aspects of Beam Physics, 4–9 January 1998, Monterey, California, USA / K. Heinemann, D. P. Barber. — Singapore : World Scientific, 1999. — P. physics/9901044.
Fishman, L. (1992). Exact and operator rational approximate solutions of the Helmholtz, Weyl composition equation in underwater acoustics—the quadratic profile. Journal of Mathematical Physics. 33 (5): 1887–1914. doi:10.1063/1.529666.
Fishman, L. One-way wave equation modeling in two-way wave propagation problems // Mathematical Modelling of Wave Phenomena 2002, Mathematical Modelling in Physics, Engineering and Cognitive Sciences / Nilsson ; Fishman. — Vxj, Sweden : Vxj University Press, 2004. — Vol. 7. — P. 91–111.
Wurmser, D. (2004). A parabolic equation for penetrable rough surfaces: using the Foldy–Wouthuysen transformation to buffer density jumps. Annals of Physics. 311 (1): 53–80. doi:10.1016/j.aop.2003.11.006.
Osche, G. R. (1977). Dirac and Dirac–Pauli equation in the Foldy–Wouthuysen representation. Physical Review D. 15 (8): 2181–2185. Bibcode:1977PhRvD..15.2181O. doi:10.1103/PhysRevD.15.2181.
Biaynicki-Birula, I. V Photon Wave Function // Photon wave function. — Elsevier, 1996. — Vol. 36. — P. 245–294. — ISBN 9780444825308. — doi:10.1016/S0079-6638(08)70316-0.
Khan, Sameen Ahmed (2005). Maxwell Optics: I. An exact matrix representation of the Maxwell equations in a medium. Physica Scripta. 71 (5): 440–442. arXiv:physics/0205083. Bibcode:2005PhyS...71..440K. doi:10.1238/Physica.Regular.071a00440. S2CID 250793483.
Laporte, O.; Uhlenbeck, G. E. (1931). Applications of spinor analysis to the Maxwell and Dirac Equations. Physical Review. 37 (11): 1380–1397. Bibcode:1931PhRv...37.1380L. doi:10.1103/PhysRev.37.1380.
Majorana, E. (1974). Unpublished notes, quoted in Mignani, R.; Recami, E.; Baldo, M. (2008). About a Dirac-like Equation for the Photon, According to Ettore Majorana. Lettere al Nuovo Cimento. 11 (12): 568–572. doi:10.1007/bf02812391. S2CID 122510061.
Moses, E. (1959). Solutions of Maxwell's equations in terms of a spinor notation: the direct and inverse problems. Physical Review. 113 (6): 1670–1679. Bibcode:1959PhRv..113.1670M. doi:10.1103/PhysRev.113.1670.
Khan, Sameen Ahmed; Jagannathan, Ramaswamy; Simon, Rajiah (2002). Foldy–Wouthuysen transformation and a quasiparaxial approximation scheme for the scalar wave theory of light beams. ArXiV: physics/0209082. arXiv:physics/0209082. Bibcode:2002physics...9082K.
Khan, Sameen Ahmed (2005). Wavelength-dependent modifications in Helmholtz Optics. International Journal of Theoretical Physics. 44 (1): 95–125. arXiv:physics/0210001. Bibcode:2005IJTP...44...95K. doi:10.1007/s10773-005-1488-0. S2CID 55537377.
Khan, Sameen Ahmed. New Topics in Quantum Physics Research. — New York : Nova Science Publishers, 2006. — P. 163–204.
Jagannathan, R.; Simon, R.; Sudarshan, E. C. G.; Mukunda, N. (1989). Quantum theory of magnetic electron lenses based on the Dirac equation (PDF). Physics Letters A. 134 (8–9): 457–464. Bibcode:1989PhLA..134..457J. doi:10.1016/0375-9601(89)90685-3. Архивировано (PDF) 30 апреля 2022. Дата обращения: 2 июля 2024.
Jagannathan, R. (1990). Quantum theory of electron lenses based on the Dirac equation. Physical Review A. 42 (11): 6674–6689. Bibcode:1990PhRvA..42.6674J. doi:10.1103/PhysRevA.42.6674. PMID 9903968.
Khan, S. A. Quantum theory of the optics of charged particles. — Elsevier, 1996. — Vol. 97. — P. 257–358. — ISBN 9780120147397. — doi:10.1016/S1076-5670(08)70096-X.
Conte, M.; Jagannathan, R.; Khan, S. A.; Pusterla, M. (1996). Beam optics of the Dirac particle with anomalous magnetic moment. Particle Accelerators. 56: 99–126.
Khan, Sameen Ahmed (2006). The Foldy–Wouthuysen Transformation Technique in Optics. Optik. 117 (10): 481–488. Bibcode:2006Optik.117..481K. doi:10.1016/j.ijleo.2005.11.010.
Khan, Sameen Ahmed. The Foldy–Wouthuysen Transformation Technique in Optics. — Elsevier, 2008. — Vol. 152. — P. 49–78. — ISBN 9780123742193. — doi:10.1016/S1076-5670(08)00602-2.

Литература

Айзенберг И.^[нем.], Грайнер В. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитные и слабые взаимодействия. — М.: Атомиздат, 1973. — 348 с.
Барабанов А. Л. Симметрии и спин-угловые корреляции в реакциях и распадах. — М.: Физматлит, 2010. — 514 с. — ISBN 978-5-9221-1226-0.
Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. Релятивистская квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 296 с.
Ициксон К.^[англ.], Зюбер Ж.-Б.^[англ.]. Квантовая теория поля. — М.: Мир, 1984. — Т. 1. — 448 с.
Тернов А. И. Основы релятивистской квантовой механики. — 2-е. — М.: МФТИ, 2002. — 164 с. — ISBN 5-7417-0187-6.
Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля. — М.: Иностранная литература, 1963. — 844 с. — ISBN 978-5-0000-0000-0.