Меню Главная Случайная статья Настройки Проекция Меркатора Материал из https://ru.wikipedia.org Равноугольная цилиндрическая проекция Меркатора — одна из основных картографических проекций. Разработана Герардом Меркатором для применения в его «Атласе». «Равноугольная» в названии проекции подчёркивает то, что проекция сохраняет углы между направлениями. Все локсодромы в ней изображаются прямыми линиями. Меридианы в проекции Меркатора представляются параллельными равноотстоящими линиями. Параллели же представляют собой параллельные линии, расстояние между которыми вблизи экватора равно расстоянию между меридианами и быстро увеличивается при приближении к полюсам. Сами полюсы не могут быть изображены на проекции Меркатора (это обусловлено особенностями функции, отображающей координаты на сфере на координаты на плоскости), поэтому обычно карту в проекции Меркатора ограничивают областями до 80—85° северной и южной широты. Масштаб на карте в этой проекции не является постоянным, он увеличивается от экватора к полюсам (как обратный косинус широты), однако масштабы по вертикали и по горизонтали всегда равны, чем, собственно, и достигается равноугольность проекции. На картах в данной проекции всегда указывается, к какой параллели относится основной масштаб карты. Поскольку проекция Меркатора имеет различный масштаб на разных участках, эта проекция не сохраняет площади. Если основной масштаб относится к экватору, то наибольшие искажения размеров объектов будут у полюсов. Это хорошо заметно на картах в этой проекции: на них Гренландия кажется в 2—3 раза больше Австралии и сравнима по размерам с Южной Америкой. Однако в реальности Гренландия втрое меньше Австралии и в 8 раз меньше Южной Америки. Другой заметный пример - Россия, несмотря на размер, всего лишь в 1.7 раза больше по площади, чем США, и в 1.8 раза больше по площади, чем Австралия. Проекция Меркатора оказалась весьма удобной для нужд мореходства, особенно в старые времена. Объясняется это тем, что траектория движения корабля, идущего под одним и тем же румбом к меридиану (то есть с неизменным положением стрелки компаса относительно шкалы) изображается прямой линией на карте в проекции Меркатора. Математическое выражение проекции Меркатора Для начала рассмотрим простейший вариант проекции Меркатора: проекцию сферы на цилиндр. Этот вариант не учитывает сплюснутости Земли у полюсов. Цилиндричность проекции сразу даёт нам выражение для горизонтальной координаты на карте: она просто пропорциональна долготе точки ${\displaystyle \lambda }$ (при использовании в расчетах следует учесть, что выражаться эта величина должна в радианах): ${\displaystyle x=c(\lambda -\lambda _{0}).}$ Условие равноугольности — это просто равенство масштабов по горизонтальной и вертикальной оси. Поскольку масштаб по оси X на широте ${\displaystyle \theta }$ равен просто ${\displaystyle c/(R\cos \theta )}$ ( ${\displaystyle {\begin{matrix}y&=&c\ln \operatorname {tg} \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\&=&c\,\operatorname {arth} \sin \theta .\end{matrix}}}$ (Здесь arth — обратный гиперболический тангенс). Функция ${\displaystyle \operatorname {arth} \sin \theta }$ носит специальное название функции Ламберта, или ламбертиана (в честь Иоганна Ламберта) и иногда обозначается как ${\displaystyle \operatorname {lam} \theta }$ или ${\displaystyle \operatorname {arcgd} \theta }$ (см. также Интеграл от секанса). Обратное преобразование (из линейной координаты ${\displaystyle {\begin{matrix}\theta &=&\operatorname {gd} y=2\operatorname {arctg} \left(e^{y/c}\right)-{\frac {1}{2}}\pi \\\\\ &=&\operatorname {arctg} \left(\operatorname {sh} (y/c)\right),\\\\\lambda &=&x/c+\lambda _{0}.\end{matrix}}}$ Теперь нетрудно получить выражения для равноугольной проекции с учётом эллипсоидальной формы Земли. Для этого надо записать метрическую форму для эллипсоида ( ${\displaystyle dl^{2}={\frac {a^{2}d\lambda ^{2}}{1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\operatorname {tg} ^{2}\theta }}+{\frac {b^{4}}{a^{2}}}{\frac {d\theta ^{2}}{(\cos ^{2}\theta +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\sin ^{2}\theta )^{3}}},}$ перейти в ней к координатам ${\displaystyle {\begin{matrix}x&=&c(\lambda -\lambda _{0})\\y&=&c[\operatorname {arth} \sin \theta -\varepsilon \operatorname {arth} (\varepsilon \sin \theta )].\end{matrix}}}$ Здесь ${\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}/a}$ — эксцентриситет земного эллипсоида. Обратное преобразование, вообще говоря, не выражается в элементарных функциях, но уравнение для обратного преобразования легко решить методом теории возмущений по малому ${\displaystyle \varepsilon }$. Итерационная формула для обратного преобразования имеет следующий вид: ${\displaystyle \theta _{n+1}=f\left(\theta _{n},y\right)}$, где ${\displaystyle \theta _{0}}$ можно взять равным 0 или приближению, рассчитанному по формуле для сфероида. ${\displaystyle \theta _{n+1}=\arcsin \left(1-{\frac {(1+\sin \theta _{n})(1-\varepsilon \sin \theta _{n})^{\varepsilon }}{e^{\frac {2y}{c}}(1+\varepsilon \sin \theta _{n})^{\varepsilon }}}\right)}$ См. также Web Mercator[англ.] Dell'Arcano del Mare Ссылки Проекция Меркатора. Виртуальная выставка Российской национальной библиотеки Проекция Меркатора в учебнике по морской навигации