Меню Главная Случайная статья Настройки Эксцентриситет Материал из https://ru.wikipedia.org Эксцентриситет — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности. Обычно обозначается ${\displaystyle e}$ или ${\displaystyle \varepsilon }$. Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия. Содержание 1 Определение 1.1 Связанные определения 1.2 Коническое сечение в полярных координатах 2 Свойства 3 См. также 4 Примечания 5 Литература 6 Ссылки Определение Все невырожденные конические сечения, кроме окружности, можно описать следующим способом: выберем на плоскости точку ${\displaystyle F}$ и прямую ${\displaystyle L}$ и зададим вещественное число ${\displaystyle e>0}$; тогда геометрическое место точек ${\displaystyle P}$, для которых отношение расстояний до точки ${\displaystyle F}$ и до прямой ${\displaystyle L}$ равно ${\displaystyle e}$, является коническим сечением; то есть, если ${\displaystyle P'}$ есть проекция ${\displaystyle P}$ на ${\displaystyle L}$, то ${\displaystyle FP=e\cdot PP'}$. Это число ${\displaystyle e}$ называется эксцентриситетом конического сечения. Эксцентриситет окружности по определению равен 0. Связанные определения Точка ${\displaystyle F}$ называется фокусом конического сечения. Прямая ${\displaystyle L}$ называется директрисой. Коническое сечение вполярных координатах Коническое сечение, один из фокусов которого находится в полюсе, задаётся в полярных координатах уравнением ${\displaystyle r={\frac {\ell }{1-e\cos \varphi }},}$ где ${\displaystyle e}$ — эксцентриситет, а ${\displaystyle \ell }$ — другой постоянный параметр (так называемый фокальный параметр). Легко показать, что это уравнение эквивалентно определению, данному выше. В сущности, оно может быть использовано в качестве альтернативного определения эксцентриситета, быть может, менее фундаментального, но удобного с аналитической и прикладной точек зрения; в частности, из него хорошо видна роль эксцентриситета в классификации конических сечений и определённым образом дополнительно проясняется его геометрический смысл. Свойства В зависимости от эксцентриситета, получится: при ${\displaystyle e>1}$ — гипербола. Чем больше эксцентриситет гиперболы, тем больше две её ветви похожи на параллельные прямые линии; при ${\displaystyle e=1}$ — парабола; при ${\displaystyle 0\leq e<1}$ — эллипс; для окружности полагают ${\displaystyle e=0}$. Эксцентриситет эллипса и гиперболы равен отношению расстояния от фокуса до центра к большой полуоси. Это свойство иногда принимают за определение эксцентриситета. В прежние времена (например, в 1787 году[1]) на большую полуось не делили — эксцентриситетом эллипса называли расстояние от фокуса до центра[2]. Эксцентриситет эллипса может быть также выражен через отношение малой (${\displaystyle b}$) и большой (${\displaystyle a}$) полуосей: ${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$. Эксцентриситет гиперболы может быть выражен через отношение мнимой (${\displaystyle b}$) и действительной (${\displaystyle a}$) полуосей: ${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$. Эксцентриситет равносторонней гиперболы, являющейся графиком обратной пропорциональности и задаваемой уравнением ${\displaystyle f(x)={k \over x},x\neq 0,k\neq 0}$, равен ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. Для эллипса также может быть выражен через отношение радиусов пери- (${\displaystyle r_{\mathrm {per} }}$) и апоцентров (${\displaystyle r_{\mathrm {ap} }}$): ${\displaystyle e={\frac {r_{\mathrm {ap} }-r_{\mathrm {per} }}{r_{\mathrm {ap} }+r_{\mathrm {per} }}}=1-{\frac {2}{{\frac {r_{\mathrm {ap} }}{r_{\mathrm {per} }}}+1}}}$. См. также Эксцентриситет орбиты Коническая константа Примечания John Bonnycastle. An Introduction to Astronomy. — London, 1787. — С. 90. Литература Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с. Ссылки «Эксцентриситет» — статья в Малой советской энциклопедии; 2 издание; 1937—1947 гг.