Меню Главная Случайная статья Настройки Степень простого числа Материал из https://ru.wikipedia.org В математике степень простого числа — это простое число, возведённое в целую положительную степень. Содержание 1 Примеры 2 Свойства 2.1 Алгебраические свойства 2.2 Комбинаторные свойства 2.3 Свойства делимости 2.4 Необходимое условие 3 См. также 4 Примечания 5 Литература Примеры Числа 5 = 51, 9 = 32 и 16 = 24 являются степенями простых чисел, в то время как 6 = 23, 15 = 35 и 36 = 62 = 2232 не являются. Двадцать наименьших степеней простых чисел[1]: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, … Свойства Алгебраические свойства Каждая степень простого числа делится только на одно простое число. Плотность распределения степеней простых чисел асимптотически эквивалентна ${\displaystyle \pi (x)}$ — плотности простых чисел с точностью до ${\displaystyle O({\sqrt {x}})}$. Любая степень простого числа (за исключением степени 2) имеет первообразный корень. Так, мультипликативная группа целых чисел по модулю pn (или, что эквивалентно, группа единиц кольца Z/pnZ) является циклической. Число элементов конечного поля всегда является степенью простого числа и обратно, любая степень простого является числом элементов некоторого конечного поля (единственного с точностью до изоморфизма). Комбинаторные свойства Свойство степеней простого числа, часто используемое в аналитической теории чисел, — что множество степеней простых чисел, не являющихся простыми, является маленьким[англ.] в том смысле, что бесконечная сумма обратных им величин сходится, хотя множество простых чисел является большим множеством. Свойства делимости Функция Эйлера () и сигма функции (0) и (1) от степени простого числа можно вычислить по формулам: ${\displaystyle \phi (p^{n})=p^{n-1}\phi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}$ ${\displaystyle \sigma _{0}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{0*j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,}$ ${\displaystyle \sigma _{1}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{1*j}=\sum _{j=0}^{n}p^{j}={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}.}$ Все степени простых чисел являются недостаточными числами. Степень простого pn является n-почти простыми?!. Неизвестно, могут ли степени простых чисел pn быть дружественными числами. Если такие числа существуют, то pn должно быть больше 101500 и n должен быть больше 1400. Необходимое условие ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {N} :\gcd(a,N)=1\Rightarrow \gcd(a^{N-1}-1,N)>1}$ Пусть число ${\displaystyle N}$ является степенью простого числа ${\displaystyle N=p^{k}}$. Тогда ${\displaystyle N-1}$ делится на ${\displaystyle p-1}$. По малой теореме Ферма ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {N} :p}$ не делит ${\displaystyle a\Rightarrow a^{p-1}\equiv 1(mod~p)}$ ${\displaystyle a^{N-1}\equiv a^{p-1}\equiv 1(mod~p)\Rightarrow \gcd(a^{N-1}-1,N)=p^{m}>1,}$ где ${\displaystyle 1\leqslant m\leqslant k}$ См. также Точная степень Почти простое число?! Полупростое число Поле Галуа Примечания Последовательность A000961 в OEIS: степени простых чисел = Powers of primes Литература Jones, Gareth A. and Jones, J. Mary. Springer-Verlag. Elementary Number Theory. — London: Limited, 1998.