Меню Главная Случайная статья Настройки Противоположная теорема Материал из https://ru.wikipedia.org Противоположная теорема — это утверждение, в котором условие и заключение исходной теоремы заменены их отрицаниями. Каждая теорема может быть выражена в форме импликации ${\displaystyle A\Rightarrow B}$, в которой посылка ${\displaystyle A}$ является условием теоремы, а следствие ${\displaystyle B}$ является заключением теоремы. Тогда теорема, записанная в виде ${\displaystyle {\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}}$ является противоположной к ней[1]. Здесь ${\displaystyle {\overline {A}}}$ — отрицание ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle {\overline {B}}}$ — отрицание ${\displaystyle B}$. Доказательство необходимости и достаточности условий ${\displaystyle A}$ теоремы ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ для её заключения ${\displaystyle B}$ сводится к доказательству одной из двух противоположных теорем (${\displaystyle A\Rightarrow B}$ и ${\displaystyle {\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}}$; ${\displaystyle B\Rightarrow A}$ и ${\displaystyle {\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}}}$) или одной из двух обратных теорем (${\displaystyle A\Rightarrow B}$ и ${\displaystyle B\Rightarrow A}$; ${\displaystyle {\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}}$ и ${\displaystyle {\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}}}$)[2]. Если условие и/или заключение теоремы являются сложными суждениями, то противоположная теорема допускает множество не равносильных друг другу формулировок. Например, если условием теоремы является ${\displaystyle A}$, а заключением ${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$: ${\displaystyle A\Rightarrow (Y\Rightarrow Z)}$, то для противоположной теоремы существует пять форм:[3] ${\displaystyle {\overline {A}}\Rightarrow ({\overline {Y\Rightarrow Z}})}$ ${\displaystyle {\overline {Y}}\Rightarrow ({\overline {A\Rightarrow Z}})}$ ${\displaystyle {\overline {A\And Y}}\Rightarrow {\overline {Z}}}$ ${\displaystyle A\Rightarrow ({\overline {Y}}\Rightarrow {\overline {Z}})}$ ${\displaystyle Y\Rightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {Z}})}$ Содержание 1 Свойства 2 Примеры 3 См. также 4 Примечания 5 Литература Свойства Прямая теорема эквивалентна теореме, противоположной обратной: ${\displaystyle (A\Rightarrow B)\Leftrightarrow ({\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}})}$ Обратная теорема эквивалентна противоположной прямой: ${\displaystyle (B\Rightarrow A)\Leftrightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}})}$[1] Примеры Теорему Пифагора можно сформулировать следующим образом: Если в треугольнике со сторонами длиной ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ угол, противолежащий стороне ${\displaystyle c}$, прямой, то ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$. Противоположная к теореме Пифагора теорема может быть сформулирована следующим образом: Если в треугольнике со сторонами длиной ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ угол, противолежащий стороне ${\displaystyle c}$, не является прямым, то ${\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq c^{2}}$. См. также Обратная теорема Примечания 1 2 Эдельман, 1975, с. 33. Эдельман, 1975, с. 34. Градштейн, 1965, с. 94. Литература Эдельман С.Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.